0 ₽
Навсегда
- Вопросы сообществу
- Открытые решения заданий
- Рейтинг и достижения
Да я сам решу, наверное. А? Сам решу-у-у!
Я сам решу.
Я сам решу.
А застряну — спрошу.
Разберитесь сами, попросите подсказку или объясните решение другому. Здесь ценят ход мысли, а не бездумное списывание.
87 101+заданий
ЕГЭ · ОГЭофициальные банки
0 ₽старт бесплатно
Прокачка без чит-кодов
Отменить можно в любой момент
Выбери свой режим
299 ₽
в месяц
- Без рекламы
- Приоритет вопроса
- Расширенная статистика
- Сохранённые подборки
599 ₽
в месяц
- Всё из тарифа «Плюс»
- Проверка развёрнутых ответов
- Экспорт конспектов
- Значок «На максималках»
Оплата за один месяц. Автопродление подключается только с отдельного согласия пользователя.
Твой уровеньРазбираюсь
0очков пользы
До уровня «Объясняю» — 50 очков
Серия
1 день подряд
Загляни завтра, чтобы серия не сгорела.
Задание дня
Помоги одному ученику
Дай понятное объяснение и получи +15 очков.
Выберите направление
87 101 заданий в базе
Все предметы под рукой
Свежие разборы
Вопросы учеников
11голосов
Задание №24 · Математика · Олимпиада
Дан тетраэдр ABCD. Прямая ℓ пересекает плоскости ABC, BCD, CDA, DAB в точках D , A , B , C соответственно. Пусть P — произвольная точка, не лежащая 0 0 0 0 на прямой ℓ и в плоскостях граней тетраэдра, а A , B , C , D — вторые точки 1 1 1 1 пересечения прямых PA , PB , PC , PD со сферами PBCD, PCDA, PDAB, PABC 0 0 0 0 с…
Показать лучшее решение
(11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240) ABCD. ˇ(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) (cid:96) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)Ł ABC,
BCD, CDA, DAB (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı D , A , B , C æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) P (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255)
0 0 0 0
14
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), (cid:237)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)ø(cid:224)(cid:255) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:96) Ł (cid:226) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:255)ı ª(cid:240)(cid:224)(cid:237)(cid:229)Ø (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224), (cid:224) A , B , C , D (cid:22)
1 1 1 1
(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ß(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ßı PA , PB , PC , PD æ(cid:238) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)(cid:224)(cid:236)Ł PBCD, PCDA,
0 0 0 0
PDAB, PABC æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) P, A , B , C , D º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø
1 1 1 1
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) S (cid:22) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)(cid:224) (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224) ABCD, (cid:224) ω (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) PA B . (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) BCD (cid:22) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) S Ł (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
1 1
æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224) PBCD. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ A º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:226) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)Ł BCD, (cid:242)(cid:238) æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:252) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A
0 0
(cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) S (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:224) (cid:229)(cid:229) æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Ł (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß PBCD, (cid:242).(cid:229). A P ·A A . (cid:221)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243)
0 0 1
(cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:254) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:252) A (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:238)º(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)
0
PA B (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω. (cid:210)(cid:224)ŒŁ(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236), A º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)æŁ æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß S Ł
1 1 0
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) B º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)æŁ S Ł ω. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:253)(cid:242)(cid:224)
0
(cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)æ(cid:252) æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:96).
(cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) C º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:226) (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)Ł DAB, (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:254)ø(cid:229)Øæ(cid:255) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)º(cid:238)æŒ(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)(cid:254)
0
S Ł (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß (cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:253)(cid:228)(cid:240)(cid:224) PDAB, æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Ł C (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:253)(cid:242)Łı æ(cid:244)(cid:229)(cid:240) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß.
0
˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) PC (cid:22) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)æ(cid:252) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω Ł æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)ß PDAB, (cid:237)(cid:238) PC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)-
0 0
æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:253)(cid:242)(cid:243) æ(cid:244)(cid:229)(cid:240)(cid:243) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) C , æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), C º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238)
1 1
D º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) ω. (cid:210)(cid:224)ŒŁ(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236), P, A , B , C , D º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
1 1 1 1 1
15
11голосов
Задание №22 · Математика · Олимпиада
В неравнобедренном треугольнике ABC точка M — середина BC, P — ближайшая к A точка пересечения луча AM и вписанной окружности треугольника, Q — дальняя от A точка пересечения луча AM и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке P пересекает BC в точке X, а касательная к вневписанной окружности …
Показать лучшее решение
(10(cid:21)11) ´ (cid:237)(cid:229)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:229)(cid:228)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)(cid:236) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) M (cid:22)
13
æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) BC, P (cid:22) ƺŁ(cid:230)(cid:224)Øł(cid:224)(cid:255) Œ A (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) º(cid:243)(cid:247)(cid:224) AM Ł (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), Q (cid:22) (cid:228)(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:255)(cid:255) (cid:238)(cid:242) A (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) º(cid:243)(cid:247)(cid:224) AM Ł (cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł. ˚(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) Œ (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) P (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229)
X, (cid:224) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) Œ (cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) Q (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) Y .
˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MX = MY .
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). (cid:209)(cid:228)(cid:229)º(cid:224)(cid:229)(cid:236) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:254) æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) A, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:226)(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:243)(cid:254) (cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:226) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) B(cid:48), C(cid:48), M(cid:48), Q(cid:48), Y (cid:48) (cid:22) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)ß (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ B, C, M, Q, Y æ(cid:238)-
(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) BB(cid:48)C(cid:48)C (cid:22) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255), (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:238)º(cid:238) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:238)Æ(cid:238)(cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:236) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł æ(cid:238) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)(cid:236)Ł BC, B(cid:48)C(cid:48), BB(cid:48),
CC(cid:48) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) K, L, U, V æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:238) (cid:242)(cid:229)(cid:238)(cid:240)(cid:229)(cid:236)(cid:229) `(cid:240)Ł(cid:224)(cid:237)ł(cid:238)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) J (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)
(cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:238)(cid:226) KL Ł UV æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:238)Ø (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)º(cid:229)Ø (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ Ł, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)-
(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) AM ((cid:240)Łæ.22). ˇ(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) JK : JL = BC : B(cid:48)C(cid:48). (cid:215)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ,
(cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:236)Ł PX, BC, Q(cid:48)Y (cid:48) Ł B(cid:48)C(cid:48), (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)ª (cid:242)(cid:238)Ø (cid:230)(cid:229) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł,
(cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242) (cid:229)ª(cid:238) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)º(cid:252) XY (cid:48) (cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229) (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) J Ł XM : Y (cid:48)M(cid:48) = JK : JL. (cid:209)(cid:228)(cid:229)º(cid:224)(cid:226)
(cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:242)(cid:237)(cid:243)(cid:254) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:254), (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) ŁæŒ(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238).
A
C(cid:48) L M(cid:48) B(cid:48)
V P
J
U
Q(cid:48)
C B
M K
—Łæ. 22.
11голосов
Задание №21 · Математика · Олимпиада
Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Пусть M — середина диагонали ac AC; H , H — ортоцентры треугольников ABC, ADC соответственно; P , P — проd b d b екции H и H на BM и DM соответственно. Аналогично определим P , P для d b ac ac a c диагонали BD. Докажите, что P , P , P , P лежат на одной окружности. a b c d
Показать лучшее решение
Łı(cid:224)غ(cid:238)(cid:226)) (10(cid:21)11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł-
ac
(cid:237)(cid:224) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ AC; H , H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)ß (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC, ADC æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238);
d b
P , P (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:229)Œ(cid:246)ŁŁ H Ł H (cid:237)(cid:224) BM Ł DM æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:229)ºŁ(cid:236)
d b d b ac ac
P , P (cid:228)º(cid:255) (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ BD. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) P , P , P , P º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
a c a b c d
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ¨(cid:231)(cid:226)(cid:229)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A, C, P , H º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:238)Ø
d d
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ABC (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) M . ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) MA·MC = MP ·MB(cid:48) = MP ·MB, ª(cid:228)(cid:229)
ac d d
B(cid:48) (cid:22) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236)(cid:224) ABCB(cid:48). (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) MA·MC = MD·MP , (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242),
b
B, D, P , P º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A, C, P , P
b d b d
º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) BD, AC Ł P P (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:240)(cid:224)(cid:228)ŁŒ(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)(cid:236)
b d
(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:229) L ((cid:240)Łæ.21). (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) P P (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) L, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) LP ·
a c a
LP = LA · LC = LB · LD = LP · LP , (cid:238)(cid:242)Œ(cid:243)(cid:228)(cid:224) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242) (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł.
c b d
B
P
d
M L
A C
D
P
b
—Łæ. 21.
11голосов
Задание №20 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC проведена медиана AM и на ней выбрана точка D. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника BDC в точках B и C, пересекаются в точке K. Докажите, что DD′ параллельно AK, где D′ — точка, изогонально сопряж¨енная точке D относительно треугольника ABC.
Показать лучшее решение
.(cid:216)(cid:229)(cid:226)(cid:246)(cid:238)(cid:226)) (10(cid:21)11) ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)(cid:224) (cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:224) AM Ł (cid:237)(cid:224) (cid:237)(cid:229)Ø (cid:226)ßÆ(cid:240)(cid:224)(cid:237)(cid:224)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) D. ˚(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229), (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) BDC (cid:226)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B Ł C, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) K. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) DD(cid:48) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) AK, ª(cid:228)(cid:229)
D(cid:48) (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), Ł(cid:231)(cid:238)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:230)(cid:4)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) D (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:226)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ D (cid:239)(cid:238) AM (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) D(cid:48) (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:239)(cid:238) æŁ(cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:229),
(cid:224) K (cid:239)(cid:238) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:237)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:243) Œ BC, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) D(cid:48) (cid:231)(cid:224)(cid:226)ŁæŁ(cid:242) (cid:238)(cid:242) D (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:229)Œ(cid:242)Ł(cid:226)(cid:237)(cid:238), (cid:224) K
Œ(cid:226)(cid:224)(cid:228)(cid:240)(cid:224)(cid:242)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:238) ((cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:254)æ (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø BC (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł BCD,
Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242)ß (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)Ø Œ(cid:226)(cid:224)(cid:228)(cid:240)(cid:224)(cid:242)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:231)(cid:224)(cid:226)Łæ(cid:255)(cid:242) (cid:238)(cid:242) D). ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:228)(cid:238)æ(cid:242)(cid:224)(cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:237)(cid:238)
(cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:242)(cid:252) (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł (cid:228)º(cid:255) (cid:239)(cid:255)(cid:242)Ł (cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁØ (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ D. ¯æºŁ D æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ A,
(cid:242)(cid:238) D(cid:48) (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229) æŁ(cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)ß, (cid:224) K (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ßı Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC, (cid:242).(cid:229). (cid:226)æ(cid:229) (cid:242)(cid:240)Ł (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø. ¯æºŁ
D (cid:22) (cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) AM æ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)(cid:254), (cid:242)(cid:238) K (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242)
(cid:237)(cid:224) æŁ(cid:236)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:229), (cid:224) D(cid:48) (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:229)(cid:229) Æ(cid:229)æŒ(cid:238)(cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:238)Ø. ¯æºŁ D æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ M, (cid:242)(cid:238) K
(cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ M, (cid:224) D(cid:48) æ A. ¯æºŁ ABDC (cid:22) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236), (cid:242)(cid:238) D(cid:48) (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)
(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ßı Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B Ł C, (cid:224) K æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)
D(cid:48) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) M. ˝(cid:224)Œ(cid:238)(cid:237)(cid:229)(cid:246), (cid:229)æºŁ D (cid:22) Æ(cid:229)æŒ(cid:238)(cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:237)(cid:238) (cid:243)(cid:228)(cid:224)º(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), (cid:242)(cid:238) K æ(cid:238)(cid:226)(cid:239)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:229)(cid:242)
æ M. ´(cid:238) (cid:226)æ(cid:229)ı æº(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:255)ı (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł (cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:237)(cid:238).
´(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229)
(˝.`(cid:229)º(cid:243)ı(cid:238)(cid:226), https://artofproblemsolving.com/community/c6h3025566p27515578)
˛Æ(cid:238)(cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:236) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) Γ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) BDC, Ł (cid:239)(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) AB Ł AC (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242) Γ (cid:226)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B(cid:48) Ł C(cid:48) æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M(cid:48) (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) B(cid:48)C(cid:48), (cid:224) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229) Œ Γ (cid:226)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B(cid:48) Ł C(cid:48) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) K(cid:48).
˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) A, K Ł K(cid:48) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø ((cid:239)(cid:238)º(cid:255)(cid:240)(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) BC∩B(cid:48)C(cid:48)
(cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) Γ). ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:237)(cid:224)(cid:228)(cid:238) (cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:242)(cid:252), (cid:247)(cid:242)(cid:238) DD(cid:48) (cid:107) KK(cid:48). ˇ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) DD(cid:48) Ł KK(cid:48)
(cid:224)(cid:237)(cid:242)Ł(cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß MM(cid:48) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:243)ªº(cid:224) BAC.
(cid:209)(cid:237)(cid:224)(cid:247)(cid:224)º(cid:224) (cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236) (cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:228)º(cid:255) DD(cid:48). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) AD (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) Γ (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) E. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224)
ABD(cid:48) ∼ AEC, (cid:242).(cid:229). AD(cid:48) · AE = AB · AC. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), AD : AD(cid:48) = (AD · AE) :
(AD(cid:48) · AE) = (AB · AB(cid:48)) : (AB · AC) = AB(cid:48) : AC.
12
(cid:209) (cid:228)(cid:240)(cid:243)ª(cid:238)Ø æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß, ABCM ∼ AC(cid:48)B(cid:48)M(cid:48), (cid:224) (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), AM : AM(cid:48) = AC : AB(cid:48) = AD(cid:48) : AD.
˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), A, D Ł M º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø Ł Ł(cid:231) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238) (cid:230)(cid:229) (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)ÆŁ(cid:255) ∠BAM =
∠C(cid:48)AM(cid:48), (cid:242).(cid:229). A, D(cid:48) Ł M(cid:48) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) D, D(cid:48), M Ł M(cid:48)
º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:238)(cid:242)Œ(cid:243)(cid:228)(cid:224) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) ŁæŒ(cid:238)(cid:236)(cid:243)(cid:254) (cid:224)(cid:237)(cid:242)Ł(cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252).
ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:229)(cid:236) Œ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø KK(cid:48). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) O Ł R (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) Ł (cid:240)(cid:224)(cid:228)Ł(cid:243)æ Γ. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) O, M Ł K º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242)
(cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø, (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) Œ(cid:224)Œ O, M(cid:48) Ł K(cid:48), (cid:239)(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) OM · OK = R2 = OM(cid:48) · OK(cid:48).
(cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), K, K(cid:48), M Ł M(cid:48) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:238)(cid:242)Œ(cid:243)(cid:228)(cid:224) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) Ł
(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:243)(cid:254) ŁæŒ(cid:238)(cid:236)(cid:243)(cid:254) (cid:224)(cid:237)(cid:242)Ł(cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252).
11голосов
Задание №19 · Математика · Олимпиада
Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Произвольная окружность, проходящая через точки C и D, пересекает прямые AC, BC в точках X, Y соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей CAY и CBX.
Показать лучшее решение
.˙(cid:224)æº(cid:224)(cid:226)æŒŁØ) (10(cid:21)11) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. ˇ(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:224)(cid:255) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ C Ł D, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AC, BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı X, Y
æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˝(cid:224)Ø(cid:228)Ł(cid:242)(cid:229) ˆ(cid:204)(cid:210) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø CAY Ł CBX.
˛(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242). ˇ(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) CE, ª(cid:228)(cid:229) AEBD (cid:22) ª(cid:224)(cid:240)(cid:236)(cid:238)(cid:237)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). —(cid:224)ææ(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:236) Œ(cid:238)(cid:236)(cid:239)(cid:238)(cid:231)Ł(cid:246)Ł(cid:254) Ł(cid:237)(cid:226)(cid:229)(cid:240)æŁŁ æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) C Ł æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)ŁŁ (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)-
(cid:237)(cid:238) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:243)ªº(cid:224) BCA, (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:255)(cid:254)ø(cid:243)(cid:254) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A Ł B (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:224)(cid:236)Ł. ˛(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:255)(cid:229)(cid:242)
(cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:224)(cid:236)Ł (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254) AB Ł (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:242).(cid:229). D (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:226)
(cid:237)(cid:229)Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:243)(cid:254) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) D(cid:48) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø AB, (cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:224)(cid:255) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) C Ł D, (cid:22) (cid:226)
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:243)(cid:254) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) D(cid:48) Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)ø(cid:243)(cid:254) AC, BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı Y (cid:48), X(cid:48) æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)-
æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł CAY Ł CBX (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:243)(cid:242) (cid:226) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AX(cid:48), BY (cid:48), (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)
Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ßı º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø, (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) C Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)ø(cid:229)Ø AB (cid:226) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229)
E(cid:48), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:247)(cid:229)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)Œ(cid:224) A, B, D(cid:48), E(cid:48) ª(cid:224)(cid:240)(cid:236)(cid:238)(cid:237)Ł(cid:247)(cid:229)æŒ(cid:224)(cid:255). ˇ(cid:240)Ł (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:238)(cid:236) (cid:239)(cid:240)Ł(cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:229)(cid:237)ŁŁ Ł(cid:237)(cid:226)(cid:229)(cid:240)æŁŁ
Ł æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)ŁŁ (cid:253)(cid:242)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)Ø(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:226) CE ((cid:240)Łæ.19).
11
D
C
Y
X
A B
P
E
—Łæ. 19.
11голосов
Задание №18 · Математика · Олимпиада
Восстановите вписанно-описанный четыр¨ехугольник ABCD по серединам дуг AB, BC, CD его описанной окружности. 3
Показать лучшее решение
.˙(cid:224)æº(cid:224)(cid:226)æŒŁØ) (9(cid:21)11) ´(cid:238)ææ(cid:242)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)Ł(cid:242)(cid:229) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)-(cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD
(cid:239)(cid:238) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224)(cid:236) (cid:228)(cid:243)ª AB, BC, CD (cid:229)ª(cid:238) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˛(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:242)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229)
(cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ, (cid:224) ı(cid:238)(cid:240)(cid:228)ß, æ(cid:238)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:255)(cid:254)øŁ(cid:229) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:242)Ł(cid:226)(cid:238)(cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:230)(cid:237)ßı (cid:228)(cid:243)ª, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß.
ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:237)(cid:224)Ø(cid:242)Ł æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:243) (cid:228)(cid:243)ªŁ DA. ˚(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229) Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł
(cid:226) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224)ı (cid:228)(cid:243)ª (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)(cid:236) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:224) (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:238)Æ(cid:224) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß-
(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229), (cid:242)(cid:238) (cid:238)(cid:237)Ł ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:247)(cid:237)ß. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:226) (cid:226)(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)ª (cid:247)(cid:229)-
(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:236)Ł, (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) Ł (cid:239)(cid:240)Ł(cid:236)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:226) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:254),
(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:226)(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:243)(cid:254) (cid:253)(cid:242)(cid:243) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:226) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:236)ß (cid:226)(cid:238)æ-
æ(cid:242)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)Ł(cid:236) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ.
11голосов
Задание №17 · Математика · Олимпиада
Общая внешняя касательная к окружностям ω и ω касается их в точках T , 1 2 1 T соответственно. Пусть A — произвольная точка на продолжении отрезка T T за 2 1 2 точку T , а B — точка на продолжении отрезка T T за точку T такая, что AT = 1 1 2 2 1 = BT . Отличные от прямой T T касательные из A к ω и из B к ω пересекаются…
Показать лучшее решение
(cid:224)(cid:242)(cid:243)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (9(cid:21)11) ˛Æø(cid:224)(cid:255) (cid:226)(cid:237)(cid:229)ł(cid:237)(cid:255)(cid:255) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) Œ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:255)(cid:236) ω Ł ω Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255)
1 2
Łı (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı T , T æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) A (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ
1 2
(cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) T T (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) T , (cid:224) B (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) T T (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) T
1 2 1 1 2 2
(cid:242)(cid:224)Œ(cid:224)(cid:255), (cid:247)(cid:242)(cid:238) AT =
1
= BT . ˛(cid:242)ºŁ(cid:247)(cid:237)ß(cid:229) (cid:238)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø T T Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229) Ł(cid:231) A Œ ω Ł Ł(cid:231) B Œ ω (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226)
2 1 2 1 2
(cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) C. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:237)(cid:224)ª(cid:229)ºŁ(cid:224)(cid:237)ß (cid:226)æ(cid:229)ı (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Ł(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)ß C (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)(cid:242)
(cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243).
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:226)æ(cid:229) (cid:237)(cid:224)ª(cid:229)ºŁ(cid:224)(cid:237)ß (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:226)(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:229)Ø ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø. ˜º(cid:255) (cid:253)(cid:242)(cid:238)ª(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:244)(cid:238)(cid:240)(cid:236)(cid:243)ºŁ(cid:240)(cid:243)(cid:229)(cid:236) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:243): (cid:239)(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) (cid:228)(cid:224)(cid:237) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABC, (cid:242)(cid:238)(cid:247)-
ŒŁ T , T (cid:237)(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:229) AB æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:229)(cid:229) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß, (cid:228)(cid:226)(cid:229) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł,
1 2
(cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) (cid:226) (cid:243)ªºß A Ł B, Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) AB (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı T , T æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)
1 2
(cid:226)(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:229)Ø ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:237)(cid:224)ª(cid:229)ºŁ(cid:224)(cid:237)(cid:229) CD.
˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ T , T (cid:239)(cid:238) AB (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)ß (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:243)(cid:242)æ(cid:255) (cid:239)(cid:238)
1 2
ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224)(cid:236) (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) A Ł B æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238), (cid:224) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) Łı (cid:240)(cid:224)(cid:228)Ł(cid:243)æ(cid:238)(cid:226) (cid:238)æ(cid:242)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:240)(cid:224)(cid:226)-
(cid:237)ß(cid:236) ctg A : ctg B = AD : BD. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:239)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø,
2 2
(cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) D. ˇ(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236), (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) AC +AD = BC +BD, (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ACD (cid:239)(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:243)(cid:229)(cid:242) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) BCD ((cid:240)Łæ.17). ˛(cid:247)(cid:229)(cid:226)Ł(cid:228)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ (cid:253)(cid:242)Łı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø º(cid:229)-
(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) CD. ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:237)(cid:238) (cid:228)º(cid:255) º(cid:254)Æ(cid:238)Ø (cid:239)(cid:224)(cid:240)ß (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø.
10
C
A B
T D T
1 2
—Łæ. 17.
11голосов
Задание №16 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC проведены высоты AH и BH . Прямая H H пересе- A B A B кает описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q. Точка A′ симметрична точке A относительно BC, точка B′ симметрична точке B относительно CA. Докажите, что A′,B′, P, Q лежат на одной окружности.
Показать лучшее решение
(cid:230)(cid:229)(cid:226)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226)) (9(cid:21)11) ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)ß (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242)ß AH Ł BH . ˇ(cid:240)(cid:255)-
A B
(cid:236)(cid:224)(cid:255) H H (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı P Ł Q.
A B
9
(cid:210)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) A(cid:48) æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) A (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) BC, (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) B(cid:48) æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) B
(cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) CA. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) A(cid:48),B(cid:48), P, Q º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ, æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß(cid:229) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:243) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) (cid:242)(cid:240)(cid:229)-
(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:242)(cid:238) H H · H A(cid:48) = H B · H C = H P ·
A A A A A
H Q, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ P, Q, H, A(cid:48) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) P,
A
Q, H, B(cid:48) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ((cid:240)Łæ.16).
B(cid:48)
C
Q A(cid:48)
P
H
A B
—Łæ. 16.
11голосов
Задание №15 · Математика · Олимпиада
Дан выпуклый четыр¨ехугольник ABCD. Точки X и Y лежат на продолжениях за точку D сторон CD и AD соответственно, причем DX = AB и DY = BC. Аналогично, точки Z и T лежат на продолжениях за точку B сторон CB и AB, причем BZ = AD и BT = DC. Пусть M — середина XY , M — середина ZT. Докажите, 1 2 что прямые DM , BM и AC пере…
Показать лучшее решение
.(cid:204)(cid:224)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:229)(cid:226)) (9(cid:21)10) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)ß(cid:239)(cid:243)ŒºßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. (cid:210)(cid:238)(cid:247)ŒŁ X Ł Y º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224)
(cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)ı (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) D æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) CD Ł AD æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238), (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) DX = AB Ł
DY = BC. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ Z Ł T º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)º(cid:230)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)ı (cid:231)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) B æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) CB
Ł AB, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) BZ = AD Ł BT = DC. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) XY , M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) ZT.
1 2
˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) DM , BM Ł AC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229).
1 2
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) DM (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) AC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) P. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) sin∠ADP : sin∠CDP =
1
sin∠Y DM : sin∠XDM = XD : Y D = AB : BC. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), AP : CP =
(AB · AD) : (CB · CD). (cid:210)(cid:224)Œ(cid:238)(cid:229) (cid:230)(cid:229) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236) (cid:228)º(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) AC æ
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø BD .
2
11голосов
Задание №14 · Математика · Олимпиада
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки O. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг O неч¨етно. (Числом оборотов вокруг O называется сумма ориентированных углов \A OA + \A OA + ... + \A OA + \A OA , дел¨енная на 2π.) 1 2 2 3 n−1 n n 1
Показать лучшее решение
.(cid:209)Œ(cid:238)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Œ(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)11) ˙(cid:224)(cid:236)Œ(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:224)(cid:255), (cid:226)(cid:238)(cid:231)(cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238), æ(cid:224)(cid:236)(cid:238)(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)ø(cid:224)(cid:255)æ(cid:255) º(cid:238)(cid:236)(cid:224)(cid:237)(cid:224)(cid:255) æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)-
(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:237)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)ø(cid:229)Ø (cid:237)(cid:224) (cid:237)(cid:229)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ O. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:247)Łæº(cid:238) (cid:238)Æ(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:226)
º(cid:238)(cid:236)(cid:224)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:226)(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)ª O (cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:4)(cid:229)(cid:242)(cid:237)(cid:238). ((cid:215)Łæº(cid:238)(cid:236) (cid:238)Æ(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:226) (cid:226)(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)ª O (cid:237)(cid:224)(cid:231)ß(cid:226)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) æ(cid:243)(cid:236)(cid:236)(cid:224) (cid:238)(cid:240)Ł(cid:229)(cid:237)-
(cid:242)Ł(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) ∠A OA + ∠A OA + ... + ∠A OA + ∠A OA , (cid:228)(cid:229)º(cid:4)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:237)(cid:224)
1 2 2 3 n−1 n n 1
2π.)
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ¨(cid:231) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:255) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:247)Łæº(cid:238) (cid:231)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:252)(cid:229)(cid:226) º(cid:238)(cid:236)(cid:224)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:242)(cid:237)(cid:238): n = 2k. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ
(cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A Ł A æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) O, (cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:238)(cid:242) A (cid:228)(cid:238) A (cid:226)(cid:229)Œ(cid:242)(cid:238)(cid:240)
1 k+1 1 k+1
OA (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:226)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:237)(cid:224) (cid:243)ª(cid:238)º mπ, ª(cid:228)(cid:229) m (cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:242)(cid:237)(cid:238). ˝(cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:238)Ø (cid:230)(cid:229) (cid:243)ª(cid:238)º (cid:238)(cid:237) (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:226)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255)
i
(cid:239)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:238)(cid:242) A (cid:228)(cid:238) A . (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:247)Łæº(cid:238) (cid:238)Æ(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:226) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238) 2πm.
k+1 1
11голосов
Задание №13 · Математика · Олимпиада
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC, а угол C в полтора раза больше угла A. Диагональ AC делит угол C на два угла. Определите, какой из них больше?
Показать лучшее решение
.(cid:204)(cid:224)(cid:240)(cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)11) ´ (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ ABCD (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229) AD (cid:226)(cid:228)(cid:226)(cid:238)(cid:229) Æ(cid:238)º(cid:252)ł(cid:229) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:255) BC,
(cid:224) (cid:243)ª(cid:238)º C (cid:226) (cid:239)(cid:238)º(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:224) (cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:224) Æ(cid:238)º(cid:252)ł(cid:229) (cid:243)ªº(cid:224) A. ˜Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)º(cid:252) AC (cid:228)(cid:229)ºŁ(cid:242) (cid:243)ª(cid:238)º C (cid:237)(cid:224) (cid:228)(cid:226)(cid:224) (cid:243)ªº(cid:224).
˛(cid:239)(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:229)ºŁ(cid:242)(cid:229), Œ(cid:224)Œ(cid:238)Ø Ł(cid:231) (cid:237)Łı Æ(cid:238)º(cid:252)ł(cid:229)?
˛(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242). (cid:211)ª(cid:238)º ACD.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:240)(cid:238)(cid:228)ºŁ(cid:236) Æ(cid:238)Œ(cid:238)(cid:226)ß(cid:229) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ (cid:228)(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) P, (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:239)(cid:229)-
(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)…(cid:236) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240) Œ PD æ AP (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) Q. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) ∠AQD = 2∠QPD =
∠QAD Ł AD = QD > CD (ªŁ(cid:239)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:237)(cid:243)(cid:231)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) Æ(cid:238)º(cid:252)ł(cid:229) Œ(cid:224)(cid:242)(cid:229)-
(cid:242)(cid:224)). ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242) ∠ACD > ∠CAD = ∠BCA ((cid:240)Łæ.13).
8
P
B C
Q
A D
—Łæ. 13.
11голосов
Задание №11 · Математика · Олимпиада
Пусть H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC; E, F — такие точки на сторонах AB, AC соответственно, что AEHF — параллелограмм; X, Y — точки пересечения прямой EF с описанной окружностью ω треугольника ABC; Z — точка ω, диаметрально противоположная A. Докажите, что H — ортоцентр треугольника XY Z. 12. В треугольн…
Показать лучшее решение
.˚(cid:243)(cid:240)æŒŁØ) (8(cid:21)10) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC; E,
F (cid:22) (cid:242)(cid:224)ŒŁ(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:237)(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)ı AB, AC æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) AEHF (cid:22) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)-
ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236); X, Y (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø EF æ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)(cid:254) ω (cid:242)(cid:240)(cid:229)-
(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC; Z (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) ω, (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:242)Ł(cid:226)(cid:238)(cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:224)(cid:255) A. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238)
H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) XY Z.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ¨(cid:231) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:255) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠BHE = ∠CHF = π/2, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:240)(cid:229)-
(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ BHE Ł CHF (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)Æ(cid:237)ß Ł AF : EB = EH : EB = HF : FC = AE : EC.
ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) AE · EB = AF · FC, (cid:242).(cid:229). æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Ł (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ E Ł F (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
6
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß Ł æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) D (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) AH (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:238)Ø XY . ˇ(cid:238)-
(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:237)(cid:255)(cid:255) ºŁ(cid:237)Ł(cid:255) OD (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) AHZ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)(cid:224) XY . ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), ZH (cid:22)
(cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242)(cid:224) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) XY Z, (cid:224) (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) A, æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)(cid:255) H (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)
æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß XY , º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:242)(cid:238) H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ((cid:240)Łæ.11).
X
A
F
D
E
H
O
Y
C
B
Z
—Łæ. 11.
12. ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC æ (cid:242)(cid:243)(cid:239)ß(cid:236) (cid:243)ªº(cid:238)(cid:236) B (cid:238)(cid:242)(cid:236)(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)ß (cid:242)(cid:224)ŒŁ(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ P Ł Q (cid:237)(cid:224) AC, (cid:247)(cid:242)(cid:238)
AP = PB, BQ = QC. ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) BPQ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß AB Ł BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı N
Ł M æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238).
(cid:224)) (ˇ.—(cid:255)Æ(cid:238)(cid:226), 8(cid:21)9) ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) R (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) PM Ł NQ (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)(cid:243)(cid:228)(cid:224)º(cid:229)(cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:242) A
Ł C.
Æ) ((cid:192).˙(cid:224)æº(cid:224)(cid:226)æŒŁØ, 10(cid:21)11) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) BR (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) AC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) S. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MN ⊥
OS, ª(cid:228)(cid:229) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). (cid:224)) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224)
OP ⊥ AB Ł OQ ⊥ BC. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), ∠NQA = ∠NBP = ∠A Ł (cid:224)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) ∠MPC =
∠C. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ∠PRQ + ∠POQ = π Ł (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ OPRQ (cid:22) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)-
(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), ∠PRO = ∠PQO = π/2 − ∠C, (cid:242).(cid:229). (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)Ł-
Œ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß Ł AR = AC ((cid:240)Łæ.12).
7
B
N
M
R
A C
P Q
O
—Łæ. 12.
Æ) ¨(cid:231) (cid:239).(cid:224)) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ QRP Ł ABC (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)ß æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) O. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229)
(cid:242)(cid:238)ª(cid:238), (cid:238)(cid:237)Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)æ(cid:239)(cid:229)Œ(cid:242)Ł(cid:226)(cid:237)ß æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) S. ˇ(cid:238) (cid:242)(cid:229)(cid:238)(cid:240)(cid:229)(cid:236)(cid:229) (cid:209)(cid:238)(cid:237)(cid:228)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) OS (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)(cid:224)
(cid:238)æŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)æ(cid:239)(cid:229)Œ(cid:242)Ł(cid:226)ß (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø MN.
79 887 заданий · страница 7 из 6658
Тренировка
Ответы проверяются автоматически