Задание №180928: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки O. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг O неч¨етно. (Числом оборотов вокруг O называется сумма ориентированных углов \A OA + \A OA + ... + \A OA + \A OA , дел¨енная на 2π.) 1 2 2 3 n−1 n n 1
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
.(cid:209)Œ(cid:238)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Œ(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)11) ˙(cid:224)(cid:236)Œ(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:224)(cid:255), (cid:226)(cid:238)(cid:231)(cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238), æ(cid:224)(cid:236)(cid:238)(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)ø(cid:224)(cid:255)æ(cid:255) º(cid:238)(cid:236)(cid:224)(cid:237)(cid:224)(cid:255) æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)-
(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:237)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)(cid:224)ø(cid:229)Ø (cid:237)(cid:224) (cid:237)(cid:229)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ O. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:247)Łæº(cid:238) (cid:238)Æ(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:226)
º(cid:238)(cid:236)(cid:224)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:226)(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)ª O (cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:4)(cid:229)(cid:242)(cid:237)(cid:238). ((cid:215)Łæº(cid:238)(cid:236) (cid:238)Æ(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:226) (cid:226)(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)ª O (cid:237)(cid:224)(cid:231)ß(cid:226)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) æ(cid:243)(cid:236)(cid:236)(cid:224) (cid:238)(cid:240)Ł(cid:229)(cid:237)-
(cid:242)Ł(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) ∠A OA + ∠A OA + ... + ∠A OA + ∠A OA , (cid:228)(cid:229)º(cid:4)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:237)(cid:224)
1 2 2 3 n−1 n n 1
2π.)
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ¨(cid:231) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:255) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:247)Łæº(cid:238) (cid:231)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:252)(cid:229)(cid:226) º(cid:238)(cid:236)(cid:224)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:242)(cid:237)(cid:238): n = 2k. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ
(cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A Ł A æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) O, (cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:238)(cid:242) A (cid:228)(cid:238) A (cid:226)(cid:229)Œ(cid:242)(cid:238)(cid:240)
1 k+1 1 k+1
OA (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:226)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:237)(cid:224) (cid:243)ª(cid:238)º mπ, ª(cid:228)(cid:229) m (cid:237)(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:242)(cid:237)(cid:238). ˝(cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:238)Ø (cid:230)(cid:229) (cid:243)ª(cid:238)º (cid:238)(cid:237) (cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:226)(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255)
i
(cid:239)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:226)Ł(cid:230)(cid:229)(cid:237)ŁŁ (cid:238)(cid:242) A (cid:228)(cid:238) A . (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:247)Łæº(cid:238) (cid:238)Æ(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:226) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238) 2πm.
k+1 1
Используемые формулы
2π.)
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.