Я сам решу.
А застряну — спрошу.

Æ(cid:224)(cid:231)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ´ßæ(cid:238)(cid:242)ß BE Ł CF (cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)-
æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) H. ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240) Ł(cid:231) H Œ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø EF (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254) (cid:96), (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:243)(cid:254)

(cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) A Ł (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:243)(cid:254) BC, (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) P. `Łææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226), (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:236)Ł (cid:96) Ł HP, (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:243)(cid:254) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı S Ł T. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229)
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Ł PST Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255).
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) PH (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) M. ¨(cid:231) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226) ∠MPT = ∠APT =
∠MTP æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MT = MP. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) MS = MP, (cid:242).(cid:229). M (cid:22)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) PST. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), (cid:242)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ AO ⊥ EF, (cid:242)(cid:238) AO (cid:107) MP, ª(cid:228)(cid:229)

O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) H(cid:48), æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)-
(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)(cid:255) H (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) BC, º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC, (cid:242)(cid:238)
(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:229)(cid:228)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ HMH(cid:48) Ł AOH(cid:48) (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)Æ(cid:237)ß, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), M º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:229)
OH(cid:48), (cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) OM Ł MP (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:243)(cid:254)(cid:242) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß(cid:229) (cid:243)ªºß æ BC. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø OM æ (cid:96) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Æ(cid:229)Łı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:255)ı ABC Ł PST, Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ß(cid:229) (cid:226) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229)
Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) ((cid:240)Łæ.10).




A P


E



F
H
O




T C M B S




H(cid:48)

—Łæ. 10.

.ˆ(cid:243)Æ(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ˇ(cid:240)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABC Ł(cid:231)(cid:226)(cid:229)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224), æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)-

(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:243) (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:229) BC. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252)
A (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242)ß, (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø Ł(cid:231) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) A º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
1 1
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß (cid:242)(cid:240)(cid:4)(cid:229)ı (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). —(cid:224)ææ(cid:242)(cid:238)(cid:255)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:238)(cid:242) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:228)(cid:238) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß BC (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:238)-
(cid:226)Ł(cid:237)(cid:229) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) AH, ª(cid:228)(cid:229) H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240). (cid:209) (cid:228)(cid:240)(cid:243)ª(cid:238)Ø æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß, Ł(cid:231) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:255) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242),
(cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:253)(cid:242)(cid:238) (cid:240)(cid:224)ææ(cid:242)(cid:238)(cid:255)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:226)Ł(cid:237)(cid:229) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) HA . (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), H (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) AA .
1 1
ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) A (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) BC. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß X, Y (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242) BB , CC º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)-
0 1 1
(cid:237)Łı ºŁ(cid:237)Ł(cid:255)ı (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224), (cid:243)ªºß A XH Ł A Y H (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229), (cid:242).(cid:229). (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ X Ł Y º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224)
0 0
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł æ (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) A H. ˛(cid:247)(cid:229)(cid:226)Ł(cid:228)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) A (cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł
0 1
((cid:240)Łæ.9).
A
C
1
B
1
H
Y
X



B C
A A
0 1
—Łæ. 9.

5

(cid:236)Ł(cid:237), ¨.˚(cid:243)ı(cid:224)(cid:240)(cid:247)(cid:243)Œ) (8(cid:21)9) ˝(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω (cid:231)(cid:224)(cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) A. (cid:213)(cid:238)(cid:240)(cid:228)ß BC
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω (cid:226)ßÆŁ(cid:240)(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) P. ˜(cid:238)Œ(cid:224)-
(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł 9 (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:237)(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:226)Łæ(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:238)(cid:242) (cid:226)ßÆ(cid:238)(cid:240)(cid:224) BC.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˆ(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁ(cid:236) (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:238)(cid:236) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237) ı(cid:238)(cid:240)(cid:228) BC (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) æ (cid:228)Ł(cid:224)-

(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) OP, ª(cid:228)(cid:229) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ω. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ª(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁ(cid:236) (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:238)(cid:236) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:226) (cid:242)(cid:255)(cid:230)(cid:229)æ(cid:242)Ł
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Æ(cid:243)(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:239)(cid:240)Ł ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) A Ł
Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:238)(cid:236) 2/3. ˇ(cid:240)Ł(cid:236)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:226) Œ (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:254) æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) O Ł Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)-
(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:238)(cid:236) 3/2, (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) ª(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁ(cid:236) (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:238)(cid:236) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:226) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø 9 (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ
(cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229) Æ(cid:243)(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:237)(cid:229)Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252). (cid:192) (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:240)(cid:224)(cid:228)Ł(cid:243)æß (cid:226)æ(cid:229)ı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø 9 (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ
(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß, (cid:242)(cid:238) (cid:238)(cid:237)Ł Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:228)(cid:226)(cid:243)ı (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø.

(cid:226)(cid:229)(cid:246)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) A , B , C (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242) (cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)
1 1 1
ABC. ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252), (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ A B C , Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) A B ,A C ,B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı C ,B ,A . ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AA ,BB ,CC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)-
2 2 2 2 2 2
Œ(cid:229), º(cid:229)(cid:230)(cid:224)ø(cid:229)Ø (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:221)غ(cid:229)(cid:240)(cid:224) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ´ßæ(cid:238)(cid:242)ß (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224)(cid:236)Ł (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)
A B C , Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ß(cid:229) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)(cid:236) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) A B C , (cid:239)(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:242)(cid:240)(cid:229)-
1 1 1 2 2 2
(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ ABC Ł A B C ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:247)(cid:237)ß ((cid:240)Łæ.6). (cid:214)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø,
2 2 2
æ(cid:238)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:255)(cid:254)ø(cid:229)Ø (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)ß (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226), (cid:242).(cid:229). (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:221)غ(cid:229)(cid:240)(cid:224)
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
C
B
1

C
2
A
1
B
2
A
2
A B
C
1
—Łæ. 6.

ı(cid:224)(cid:240)(cid:247)(cid:243)Œ) (8) ˜(cid:224)(cid:237) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ ABCD. ˝(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)ı AD Ł CD
(cid:226)(cid:231)(cid:255)(cid:242)ß (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ E Ł F (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) AE = BC Ł AB = CF. ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) EF.
˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:243)ª(cid:238)º AMC (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø.

ˇ(cid:229)(cid:240)(cid:226)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ´ (cid:239)(cid:255)(cid:242)Ł(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABCFE ∠A + ∠C = 180◦, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), ∠B + ∠E +
∠F = 360◦. ˛(cid:242)º(cid:238)(cid:230)Ł(cid:236) (cid:238)(cid:242) (cid:239)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:231)(cid:226)(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ U (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)ŒŁ UX = AB = CF, UY =
BC = AE, UZ = ME = MF (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠XUY = ∠B, ∠Y UZ = ∠E, ∠ZUX = ∠F.
(cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ UXY , UY Z, UZX Ł XY Z (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)(cid:236)
BAC, EMA, FMC Ł ACM, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), ∠AMC = ∠AME+∠CMF = 90◦ ((cid:240)Łæ.5).

C = X


B






F
U
M = Z

D A = Y
E





—Łæ. 5.

´(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)Ł(cid:236) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236) ABCU. (cid:210)(cid:238)(cid:247)ŒŁ E, F æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß
U (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) BAD, BCD æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) ∠AUC +

3






∠ADC = 180◦, (cid:253)(cid:242)Ł ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ UEF
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ßØ, (cid:224) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:229) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:238)º(cid:238) (cid:237)(cid:229)ª(cid:238) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-

(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) M.

.¨(cid:226)º(cid:229)(cid:226), (cid:192).(cid:204)(cid:224)(cid:240)(cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8) ˝(cid:224) Æ(cid:238)Œ(cid:238)(cid:226)ßı æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)ı AB Ł BC (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:229)(cid:228)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)-
(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC (cid:238)(cid:242)(cid:236)(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)ß (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ D Ł E (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠BED = 3∠BDE. (cid:210)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) D(cid:48) æŁ(cid:236)-
(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) D (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø AC. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) D(cid:48)E (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242)
(cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.

—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæß AL Ł CH (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) I. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ ∠BLA =
∠BAL+∠ACL = 3∠BAL, (cid:242)(cid:238) DE (cid:107) AL. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), AD(cid:48) (cid:107) BL. ˇ(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) LE : AD(cid:48) =
LE : AD = BL : BA = IL : IA, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) ED(cid:48) (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) I ((cid:240)Łæ.4).







2






B



E
L

I
D


C A



D(cid:48)
—Łæ. 4.

(cid:243)ıŁ(cid:237)) (8) ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) Æ(cid:238)Œ(cid:238)(cid:226)ßı æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ ABCD (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı B
Ł C, (cid:224) (cid:229)… (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) AD. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:252)ł(cid:229) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:237)(cid:229)Ø
ºŁ(cid:237)ŁŁ (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)ŁŁ.

—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł; EF (cid:22) (cid:229)(cid:4)(cid:229) (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240), º(cid:229)(cid:230)(cid:224)øŁØ (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø
AD; G, H (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:229)Œ(cid:246)ŁŁ B Ł C (cid:237)(cid:224) AD. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ (cid:228)(cid:243)ªŁ BE Ł CF (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß, (cid:242)(cid:238) ∠ABG =
∠DCH, (cid:242).(cid:229). AG = DH Ł (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:255). (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:229)(cid:229) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:237)(cid:255)(cid:255) ºŁ(cid:237)Ł(cid:255)
(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:224) AH = EH +AE = EH +OA−OB. ˝(cid:238) Ł(cid:231) (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)ÆŁ(cid:255) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) OAB Ł OBG
(cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) OA − OB > OB − OG = GE = HF, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242) AH > EH + HF = EF
((cid:240)Łæ.3).


B C




A D
E G O H F
—Łæ. 3.

(cid:238)æŒ(cid:226)Ł(cid:242)Ł(cid:237)) (8) ˜Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABCD (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) E. ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) E º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:226)(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:240)Ł (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224). ¨(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237) C, D, A (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)-
(cid:228)(cid:229)(cid:237)ß Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:229) Œ (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł CF, DG, AH, (cid:239)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:236) CF (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) DG (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) I,
EI (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) AD (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) J, (cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AH Ł CF (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) L. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229),
(cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)(cid:238)Œ LJ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:229)(cid:237) AD.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) DG Ł AH æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238)

(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:224) Œ AD, (cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AH Ł CF (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)-
º(cid:255)(cid:240)(cid:224) Œ AC, (cid:242)(cid:238) ∠CID = 2∠EAD = ∠CED, (cid:242).(cid:229). (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ C, D, I, E º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)-
(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ∠AEI = ∠CDI, (cid:224) (cid:242)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ ∠AEL = ∠ADC = 90◦, (cid:242)(cid:238)
∠JEL = ∠IDA = ∠JAL. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A, J, E, L º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł Ł ∠AJL = 90◦ ((cid:240)Łæ.2).


1






B C






E



L
I

A D
J
—Łæ. 2.

.(cid:204)(cid:224)(cid:240)(cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:226)) (8) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) L (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) (cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:252)ł(cid:229)Ø (cid:228)(cid:243)ªŁ AC (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:238)æ(cid:242)-

(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC. ¨(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)ß B (cid:237)(cid:224) Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:243)(cid:254) Œ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:4)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) L, (cid:238)(cid:239)(cid:243)æ(cid:242)ŁºŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240) BP. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ
P, L Ł æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) AB Ł BC º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) M, N Ł K (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) AB, BC Ł AC; H (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:226)ß-
æ(cid:238)(cid:242)ß, (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:228)…(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø Ł(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)ß B. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) H (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:238)Ø (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) BP Ł AC.
(cid:223)æ(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MN (cid:107) AC (cid:107) PL, (cid:231)(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), MPLN (cid:22) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255). ¨(cid:231)(cid:226)(cid:229)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MHKN (cid:22)

(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)Æ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255), (cid:239)(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ∠MHP = ∠NKL, MH = KN. (cid:210)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:239)(cid:238)(cid:237)(cid:255)(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238)
PH = KL. ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ MHP Ł NKL, (cid:242)(cid:238) (cid:229)æ(cid:242)(cid:252) MPLN (cid:22) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)-
Æ(cid:238)Œ(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:239)(cid:229)(cid:246)Ł(cid:255) ((cid:240)Łæ.1), (cid:224) (cid:242)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ P, L Ł æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) AB Ł BC º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224)
(cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł.

B






N M





K H
C A



L P

—Łæ. 1.

Решение. Изусловия𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥)следует𝑓((𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))+𝑔(𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥)))) = 𝑓(𝑥+
𝑔(𝑓(𝑥))).Тогда𝑓(𝑥+2𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥),азначитможнодалеепоказать,что𝑓(𝑥+𝑛𝑔(𝑓(𝑥))) =
𝑓(𝑥). Пусть утверждение задачи неверно, тогда существует максимальное 𝑡 ⩾ 0, для ко-
торого на отрезке [0;𝑡] функция 𝑓 принимает нулевое значение (в силу непрерывности).
В любой окрестности 𝑡 есть точки, где функция 𝑓 не равна нулю. Зафиксируем 𝑥 > 𝑡
и построим последовательность 𝑎 , которая сходится к 𝑡 и при каждом 𝑘 удовлетворяет
𝑘
условиям𝑓(𝑎 ) ≠ 0и𝑎 < 𝑥.Тогдафиксированный𝑥можноприблизитьпоследователь-
𝑘 𝑘
𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎
ностью 𝑎 + [ 𝑘 ]𝑔(𝑓(𝑎 )). Но поскольку 𝑓(𝑎 + [ 𝑘 ]𝑔(𝑓(𝑎 ))) = 𝑓(𝑎 ) → 0
𝑘 𝑔(𝑓(𝑎 )) 𝑘 𝑘 𝑔(𝑓(𝑎 )) 𝑘 𝑘
𝑘 𝑘
при 𝑘 → +∞, мы можем приблизить 𝑓(𝑥) к нулю, а значит значение функции в этой
точке не может быть отличным от нуля.
5

Ответ: Да, верно.
Решение. Лемма Для простого нечетного 𝑞 и положительных 𝑘 > 𝑚 выполнено равен-
ство
(𝑞2𝑘 + 1,𝑞2𝑚 + 1) = 2.
Доказательство: Заметим (применив формулу разности квадратов 𝑘 − 𝑚 раз), что
𝑞2𝑘 − 1 ⋮ 𝑞2𝑚 + 1.
Тогда понятно, что выполнена следующая цепочка равенств:
(𝑞2𝑘 + 1,𝑞2𝑚 + 1) = ((𝑞2𝑘 − 1) + 2,𝑞2𝑚 + 1) = (2,𝑞2𝑘 + 1) = 2.
Лемма доказана.
Теперь заметим, что, согласно лемме, найдется такое 𝑟, что у 𝑞2𝑟 + 1 есть делитель, боль-
ший 𝑞 (иная ситуация быстро начинает противоречить тому, что попарные НОДы таких
4

чисел равны 2). Возьмем для данного простого нечетного 𝑞 минимальное такое 𝑟 и дока-
жем, что
𝑝(𝑞2𝑟 − 1) < 𝑝(𝑞2𝑟) < 𝑝(𝑞2𝑟 + 1).
𝑝(𝑞2𝑟 + 1) по построению больше 𝑞, 𝑝(𝑞2𝑟), очевидно, равно 𝑞, осталось доказать, что
𝑝(𝑞2𝑟 − 1) меньше, чем 𝑞.
𝑞2𝑟 − 1 с помощью 𝑟 раз примененной формулы разности квадратов, раскладывается в
произведение скобок, все, кроме двух из которых имеют вид 𝑞2𝑠 − 1, 𝑠 < 𝑟 и по выбору
𝑟 не могут иметь простых делителей, больших 𝑞, а две являются 𝑞 + 1 и 𝑞 − 1, у которых
простыхделителей,больших𝑞неможетбытьпоочевиднымсоображениям.Получается,
для данного 𝑞 мы нашли 𝑟, т.ч.
𝑝(𝑞2𝑟 − 1) < 𝑝(𝑞2𝑟) < 𝑝(𝑞2𝑟 + 1).
Осталосьзаметить,чтомыможемнайтитакое𝑟исоответствующуютройку(которые,оче-
видно, не будут совпадать), для каждого из бесконечного множества нечетных простых
чисел, что и доказывает ответ.

Ответ: 𝑛2 − 𝑘2 при 𝑘 < , 2𝑘𝑛 − 𝑘2 при 𝑘 ⩾ .
2 2
Решение.
𝑛
Пусть 𝑘 < . Переставим строки и столбцы таблицы так, что закрашенный квадрат ока-
2
жется в углу. Занумеруем клетки этого квадрата. Тогда можно с помощью параллельных
переносов вдоль сторон квадрата выделить четыре непересекающихся квадрата. Если
рассмотреть орбиту клетки с фиксированным номером, то в полученном «прямоуголь-
нике» ровно одна клетка закрашена. При этом операции не будут менять четность чис-
ла закрашенных клеток, а значит в каждом таком прямоугольнике в конце будет нечет-
ноечислозакрашенныхклеток.Следовательно,вконцепроцессахотябы𝑘2 клетокбудут
незакрашены.Вкачествепримераможновзятьпострочноеперекрашиваниевсейтабли-
цы.
𝑛
Если 𝑘 ⩾ , то можно переставить строки и столбцы так, чтобы квадрат оказался в уг-
2
лу, затем перекрасить содержащие его столбцы, после чего с помощью перекрашивания
строк можно получить закрашенный квадрат (𝑛−𝑘)×(𝑛−𝑘), к которому можно приме-
нить рассуждение из предыдущего пункта. Остается заметить, что операции обратимы,
поэтому достаточно максимум найти в этой конфигурации.