Задание №178263: Турнир Ломоносова 2011

Задача 6. Пусть q — заряд, находящейся на внутренней поверхности
2
сферы радиуса R . Все силовые линии, выходящие из заряда q, закан
2
чиваются на внешней поверхности сферы R и внутренней поверхности
1
сферы R . Других силовых линий в пространстве между сферами нет
2
(потому как там нет других зарядов; также силовые линии не могут
начинаться на одной из сфер и заканчиваться на другой, так как по
условию задачи потенциалы сфер равны). Поэтому q = (q + q ).
1 2
−
На рисунке показано сечение описанной в задаче системы плоско
стью, проходящей через центр сфер и заряд q; электрические силовые
линии показаны условно.
q
2
q 1 q
R
1
R
2
R
Заметим, что на внешней поверхности сферы радиуса R могут быть
2
и какие-то другие заряды. Но такие заряды никак не влияют на раз
ность потенциалов между сферами, поэтому для решения задачи они
несущественны. Как несущественны для решения и любые заряды, рас
положенные за пределами сферы R . Потенциал внешней сферы (ради
2
уса R ), созданный такими зарядами9, обозначим ϕ .
2 0
8Это интуитивно понятно, но объяснить, почему так, не очень просто. Объясне
нием фактически и является решение, приведённое выше.
9Заряды q, q1, q2 никакого вклада в потенциал внешней сферы не вносят в связи
с тем, что q +q1 +q2 = 0.
48

Электростатический потенциал в центре сфер равен
1 q 1 q 1 q
1 2
ϕ = + + + ϕ .
0
4πε · R 4πε · R 4πε · R
0 1 0 0 2
Внутри внутренней сферы (радиуса R ) нет электростатического
1
поля, поэтому потенциал поверхности этой сферы равен потенциалу в
её центре и равен ϕ .
0
По условию задачи потенциалы внешней и внутренней сфер равны,
то есть потенциал внешней (радиуса R ) сферы также равен ϕ . То есть
2 0
1 q 1 q 1 q
1 2
+ + + ϕ = ϕ
0 0
4πε · R 4πε · R 4πε · R
0 1 0 0 2
1 q 1 q 1 q
1 2
+ + = 0
4πε · R 4πε · R 4πε · R
0 1 0 0 2
q q q
1 2
+ + = 0
R R R
1 2
Воспользовавшись соотношением q = (q + q ) (или, что то же
1 2
−
самое, q = (q + q)), получим:
2 1
−
q q (q + q)
1 1
+ + − = 0
R R R
1 2
q q q q
1 1
+ = 0
R − R R − R
1 2 2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 1 1 1
q = q
1
R − R R − R
1 2 2
1 1 R R
2
−
q = q R 2 − R = q R 2 R = q R 1 R − R 2
1 · 1 1 · R 2 − R 1 · R · R 2 − R 1
R − R R R
1 2 1 2
R R R
1 2
Ответ: q = q − .
1
· R · R R
2 1
−
49