Задание №180990: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
В описанном четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что к вписанным окружностям треугольников ABC, BCD, AXD существует общая касательная.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Г.Кузнецов) В описанном четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются
в точке X. Докажите, что к вписанным окружностям треугольников ABC, BCD,
AXD существует общая касательная.
Решение. Пусть l — длина общей внешней касательной к окружностям, вписанным
1
в треугольники ABC, BCD; l — длина общей внутренней касательной к окружно-
2
стям, вписанным в треугольники ABC, AXD; l — длина общей внутренней каса-
3
тельной к окружностям, вписанным в треугольники BCD, AXD. Имеем
BC + AC − AB BC + CD − BD (AC + BD) − (AB + CD)
l = − = ;
1
2 2 2
AC + AB − BC AX + AD − DX BD + CD − BC AD + DX − AX
l = − ; l = − ;
2 3
2 2 2 2
(AC + BD) + (AB + CD) − 2(AD + BC)
l + l = :
2 3
2
Поскольку AB + CD = AD + BC, получаем, что l = l + l , следовательно, об-
1 2 3
щая внешняя касательная к вписанным окружностям треугольников ABC и BCD,
отличная от BC, касается и третьей окружности (рис. 4).
C
B
X
A D
3
Рис. 4.
Используемые формулы
l = − = ;l = − ;l + l = :Поскольку AB + CD = AD + BC, получаем, что l = l + l , следовательно, об-
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.