Задание №180297: Математический праздник 2005

Ответ. а) 2*2; б) см. рис. к п. в) решения; в) 3*10 или 4*6.
Решение. а) Квадратик не мог иметь общий угол с прямоугольником
(см. рис.), так как тогда периметр остался бы прежним или уменьшился
(убедитесь сами!), а площадь бы уменьшилась. Значит квадрат примыкает только
к одной из сторон прямоугольника (см. рис.).
Пусть сторона квадрата
x . Тогда Таня, вырезав квадрат, уменьшила площадь фигуры на
x 2 , при этом периметр увеличился на две стороны квадрата,
то есть на 2 x .
Таким образом,
исходная площадь - x 2 = площадь полученной фигуры,
исходный периметр + 2 x = периметр полученной фигуры.
По условию
исходная площадь = периметр полученной фигуры,
исходный периметр = площадь полученной фигуры.
Отсюда
исходная площадь - x 2 = исходный периметр,
исходный периметр + 2 x = исходная площадь.
Значит, x 2 = 2 x , откуда x =2.
в) Пусть стороны прямоугольника m и n . Тогда
из решения пункта а) следует, что
mn =2 m +2 n +4.
Наша задача - найти все возможные пары чисел m и n ,
удовлетворяющие этому равенству. Можно рассуждать так. Ясно, что
m и n превосходят 2, иначе квадрат 2*2
вырезать нельзя. Пусть m > n . Тогда,
при m > n > 5 ,
2 m +2 n +4 < 4 m +4<5 m < mn .
Значит, 2< n <5. Подставляя n =3, находим m =10,
а при n =4 получаем m =6. Таким образом, прямоугольники могли
быть только такие, как показано на рисунках - 3*10 и 4*6.
Можно рассуждать иначе. Равенство mn =2 m +2 n +4
можно записать в виде ( n -2)( m -2)=8. Поскольку
m и n превосходят 2, задача сводится к поиску разложений
числа 8 на два натуральных множителя.