Задание №180991: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AI пересекает сторону BC в точке D; прямая AD повторно пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке X. Докажите, что |BX − CX| = AX.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Я.Щербатов) Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Се-
рединный перпендикуляр к отрезку AI пересекает сторону BC в точке D; прямая
AD повторно пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке X. До-
кажите, что |BX − CX| = AX.
Решение. Пусть B , C — середины дуг AC, AB соответственно; P — второе пересе-
0 0
чение окружности DBB и прямой AD (рис. 5). Тогда \BPX = \BB C = (180◦ −
0 0 0
\BXP)=2, \B PX = \B BC = \B XP, следовательно, XP = XB, B X = B P, и
0 0 0 0 0
треугольники AB P, CB X равны. Тогда XC = AP, AX = XP − AP = XB − XC.
0 0
X
C A
0
B
0
P
I
B D
C
Рис. 5.
Используемые формулы
кажите, что |BX − CX| = AX.Тогда \BPX = \BB C = (180◦ −\BXP)=2, \B PX = \B BC = \B XP, следовательно, XP = XB, B X = B P, иТогда XC = AP, AX = XP − AP = XB − XC.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.