Задание №176408: ОММО 2019

Задача 5. Обозначим f(x) = 7x2 + 6x − 2. Решите уравнение f(f(x)) = x.
√
2 −7 ± 77
Ответ: −1, , .
7 14
Первое решение. Число x удовлетворяет уравнению f(f(x)) = x тогда и только тогда, когда
найдётся такое число y, что выполнена система
(cid:26)
7x2 + 6x − 2 = y
.
7y2 + 6y − 2 = x
Вычитая из первого равенства второе, после преобразований получаем 7(x − y)(x + y + 1) = 0,
откуда или y = x, или y = −x − 1. Подставим y в первое уравнение системы. В первом случае
2
получим уравнени 7x2 + 5x − 2 = 0, откуда x = −1 или x = . Во втором случае получим уравнение
√ √ 7
−7 ± 77 −7 ± 77
7x2 + 7x − 1 = 0, откуда x = =
2 · 7 14
План второго решения. Честно поcчитаем f(f(x)) − x:
(7(7x2+6x−2)2+6(7x2+6x−2)−2)−x = 343x4+588x3+98x2−133x+14 = 7(49x4+84x3+14x2−19x+2),
т.е. исходное уравнение равносильно
49x4 + 84x3 + 14x2 − 19x + 2 = 0.
Теперь у него можно найти два рациональных корня, пользуясь теоремой о рациональных корнях
многочлена с целыми коэффициентами: если p/q, (p,q) = 1 — корень многочлена с целыми коэффи-
циентами, то p является делителем свободного члена, а q — старшего коэффицента. Получаем:
49x4 + 84x3 + 14x2 − 19x + 2 = (x + 1)(7x − 2)(7x2 + 7x − 1),
корни же третьей скобки можно найти, используя формулу через дискриминант.