Задание №176418: ОММО 2019

Задача 5. Обозначим f(x) = 4x2 + 7x − 10. Решите уравнение f(f(x)) = x.
5 √
Ответ: 1, − , −1 ± 3.
2
Первое решение. Число x удовлетворяет уравнению f(f(x)) = x тогда и только тогда, когда
найдётся такое число y, что выполнена система
(cid:26)
4x2 + 7x − 10 = y
.
4y2 + 7y − 10 = x
Вычитая из первого равенства второе, после преобразований получаем 4(x−y)(x+y+2) = 0, откуда
или y = x, или y = −x − 2. Подставим y в первое уравнение системы. В первом случае получим
5
уравнени 4x2 + 6x − 10 = 0, откуда x = 1 или x = − . Во втором случае получим уравнение
√ 2
4x2 + 8x − 8 = 0, x2 + 2x − 2 = 0 откуда x = −1 ± 3.
План второго решения. Честно поcчитаем f(f(x)) − x:
(4(4x2+7x−10)2+7(4x2+7x−10)−10)−x = 64x4+224x3−96x2−512x+320 = 32(2x4+7x3−3x2−16x+10),
т.е. исходное уравнение равносильно
2x4 + 7x3 − 3x2 − 16x + 10 = 0.

Теперь у него можно найти два рациональных корня, пользуясь теоремой о рациональных корнях
многочлена с целыми коэффициентами: если p/q, (p,q) = 1 — корень многочлена с целыми коэффи-
циентами, то p является делителем свободного члена, а q — старшего коэффицента. Получаем:

2x4 + 7x3 − 3x2 − 16x + 10 = (x − 1)(2x + 5)(x2 + 2x − 2),
корни же третьей скобки можно найти, например, используя формулу через дискриминант.