Задание №180355: Математический праздник 2000
[ 10 баллов ] В вершинах куба ABCDEFGH расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу. (Пары диаметрально противоположных вершин куба: A и G, B и H, C и E, D и F.)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Математический праздник 2000» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Математический праздник — официальный архив · 2000
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Математический праздник — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2000
- Материалы
- 0 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Математический праздник 2000» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение.
Обозначим числа, стоящие в вершинах куба,
соответствующими маленькими латинскими буквами:
a, b, c, d, e, f, g и h.
Рассмотрим наименьшее из этих чисел. Без ограничения общности мы можем
считать, что это число a (оно находится в вершине A). Тогда числа в
соседних с A вершинах (это вершины B, D и E) могут принимать
только значения a или a+1 (так как a-1<a). Значит, какие-нибудь
два из чисел b, d и e равны.
Пусть равные числа стоят в вершинах B и E (остальные случаи
рассматриваются аналогично). В этом случае ответом будут диаметрально
противоположные вершины E и C: e=b, а числа c и b отличаются не более,
чем на 1, поэтому числа e и c отличаются не более, чем на 1.
Авторы задач:
А. Ю. Митягин (1), В. В. Клепцын (2), А. Шень (3),
В. В. Произволов (4), Г. А. Гальперин (5)
Дата последнего изменения: 15 февраля 2000 года
Используемые формулы
противоположные вершины E и C: e=b, а числа c и b отличаются не более,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.