Задание №180829: Командная олимпиада 2021
Дан набор целых чисел 𝑎 ,𝑎 ,…,𝑎 , по модулю не превосходящих 1000. Из- 1 2 2000 вестно, что сумма всех чисел набора равна 1. Докажите, что в наборе 𝑎 ,𝑎 ,… 𝑎 най- 1 2 2000 дется поднабор с суммой 0.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Еслисредичиселесть0,задачарешена.Рассмотримситуацию,когданулейнет.
Очевидно, что тогда среди 𝑎 есть числа разных знаков. Будем собирать поднабор 𝑏 с
𝑖 𝑘
прицелом на нулевую сумму. Для этого выберем какое-нибудь положительное 𝑎 за 𝑏 ,
𝑖 1
а дальше будем выбирать 𝑏 из числа невыбранных 𝑎 так, чтобы его знак отличался от
𝑛 𝑗
𝑛−1
знака 𝑠 = ∑ 𝑏 . Так как сумма всех чисел исходного набора равняется 1, либо такое
𝑖 𝑘
𝑘=1
𝑏 нужного знака найдется вплоть до 𝑏 , либо сумма уже набранных 𝑏 равна 0, либо
𝑛 2000 𝑘
сумма еще не выбранных 𝑎 равна 0.
𝑖
Осталосьзаметить,чтовсилувыбора𝑏 ,этичисланемогутбытьвнеинтервала[−999;1000],
𝑖
а значит, либо какое-то 𝑠 равняется 0 и образует искомый поднабор, либо, по принципу
𝑖
Дирихле (у нас 2000 сумм и 1999 вариантов значения), найдутся такие 𝑙 > 𝑚, что 𝑠 = 𝑠 .
𝑙 𝑚
В этом случае нам, очевидно, подойдет набор 𝑏 ,…,𝑏 .
𝑚+1 𝑙
Используемые формулы
знака 𝑠 = ∑ 𝑏 .𝑘=1Дирихле (у нас 2000 сумм и 1999 вариантов значения), найдутся такие 𝑙 > 𝑚, что 𝑠 = 𝑠 .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.