Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2026Олимпиадный

Задание №180992: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026

Условие

В треугольнике ABC O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, H — ортоцентр, N — точка Нагеля. Докажите, что IN = IH тогда и только тогда, когда угол ONH прямой.

📎 2026_zaoch_rus.pdf📎 2026_zaoch_sol_rus.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
Организатор
Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
Год материала
2026
Материалы
2 файла
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2026Олимпиада Шарыгина 2026 · тип 6анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

(Л.Емельянов) В треугольнике ABC O — центр описанной окружности, I —
центр вписанной, H — ортоцентр, N — точка Нагеля. Докажите, что IN = IH тогда
и только тогда, когда угол ONH прямой.
Решение. Пусть M — центр тяжести треугольника, E — середина отрезка OH

(центр окружности девяти точек). Тогда отрезки IN и OH пересекаются в точке
M, причем OM : MH = IM : MN = EM : MO = 1 : 2 (рис. 6). Из последних двух
равенств следует, что IE ∥ ON, а значит, прямая IE делит отрезок NH пополам.
Поэтому IN = IH тогда и только тогда, когда IE ⊥ NH, т.е. угол ONH прямой.














4

N











M
O H
E




I
Рис. 6.

Используемые формулы

  • Докажите, что IN = IH тогда
  • M, причем OM : MH = IM : MN = EM : MO = 1 : 2 (рис.
  • Поэтому IN = IH тогда и только тогда, когда IE ⊥ NH, т.е.

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: