Задание №175362: Задание 6
6. Лёша коллекционирует волчки, которые можно запускать так, чтобы они сталкивались друг с другом. Каждый волчок состоит из 10 колец разного радиуса (от 1 до 10), надетых на ось в определённом порядке. Сейчас у Лёши есть 10 волчков, показанных на рисунке, и ещё 10 колец, из которых можно собрать новый волчок. Для любой пары волчков Лёша называет недружелюбностью минимальное расстояние, на которое могут сблизиться их оси при движении (например, для пары 𝐵 и 𝐹 недружелюбность равна 16, поскольку кольцо радиуса 6 в 𝐵 находится на том же уровне, что и кольцо радиуса 10 в 𝐹). Агрессивностью волчка Лёша называет сумму недружелюбностей между ним и каждым из остальных волчков. Лёша хочет сделать новый волчок так, чтобы его агрессивность по отношению к старым волчкам была... (a) как можно меньше; (b) как можно больше. Какого наилучшего результата он может добиться в каждом из случаев? ( А. А. Теслер) 23 Ответ: (a) минимальная агресивность равна 155; (b) максимальная — 180. Решение (a). Рассмотрим волчок, у которого диски увеличиваются сверху вниз, то есть радиус верхнего диска равен 1, следующего 2, ..., нижнего 10. У него сумма недружелюбностей с волчками 𝐴, 𝐵, ..., 𝐽 равна 12+13+14+15+16+17+18+19+ +20+11 = 100+ (1+. . .+10) = 155. Уменьшить эту сумму нельзя, потому что для каждого уровня есть волчок, у которого на этом уровне 10, и недружелюбность с ним будет не меньше 10+𝑖 (где 𝑖 — радиус нового волчка на соответствующем уровне). Решение (b). Недружелюбность 20 у нового волчка может быть только с одним из старых волчков (у которого 10 напротив 10 нового), 19 — максимум с двумя (9+10 и 10+9), 18 — с тремя (10+8, 9+9, 8+10), 17 — максимум с четырьмя. Заметим, что волчок вида (10, ∗, ∗, 9, ∗, 8, 7, ∗, ∗, ∗) (сверху вниз), где звёздочки заменяют числа от 1 до 6 в произвольном порядке, всё это реализует. (Один из таких волчков показан справа.) Ответ для него 20 + 19 · 2 + 18 · 3 + 17 · 4 = 180. Критерии. Минимизация — 3 балла (2 балла — оценка, 1 балл — ответ с примером). Максимизация — 4 балла (2 балла — оценка, 2 балла — ответ с примером). 24 Л А Е Д Международная математическая олимпиада У И М Н Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2025-2026 учебный год. Заключительный этап Е И Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 6» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 6» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. Лёша коллекционирует волчки, которые можно запускать так, чтобы они сталкивались друг
с другом. Каждый волчок состоит из 10 колец разного радиуса (от 1 до 10), надетых на ось в
определённом порядке. Сейчас у Лёши есть 10 волчков, показанных на рисунке, и ещё 10 ко-
лец, из которых можно собрать новый волчок. Для любой пары волчков Лёша называет недру-
желюбностью минимальное расстояние, на которое могут сблизиться их оси при движении
(например, для пары 𝐵 и 𝐹 недружелюбность равна 16, поскольку кольцо радиуса 6 в 𝐵 нахо-
дится на том же уровне, что и кольцо радиуса 10 в 𝐹). Агрессивностью волчка Лёша называет
сумму недружелюбностей между ним и каждым из остальных волчков. Лёша хочет сделать
новый волчок так, чтобы его агрессивность по отношению к старым волчкам была... (a) как
можно меньше; (b) как можно больше. Какого наилучшего результата он может добиться в
каждом из случаев? ( А. А. Теслер)
23
Ответ: (a) минимальная агресивность равна 155; (b) максимальная — 180.
Решение (a). Рассмотрим волчок, у которого диски увеличиваются сверху вниз,
то есть радиус верхнего диска равен 1, следующего 2, ..., нижнего 10. У него сумма
недружелюбностей с волчками 𝐴, 𝐵, ..., 𝐽 равна 12+13+14+15+16+17+18+19+
+20+11 = 100+ (1+. . .+10) = 155. Уменьшить эту сумму нельзя, потому что для
каждого уровня есть волчок, у которого на этом уровне 10, и недружелюбность
с ним будет не меньше 10+𝑖 (где 𝑖 — радиус нового волчка на соответствующем
уровне).
Решение (b). Недружелюбность 20 у нового волчка может быть только с одним
из старых волчков (у которого 10 напротив 10 нового), 19 — максимум с двумя
(9+10 и 10+9), 18 — с тремя (10+8, 9+9, 8+10), 17 — максимум с четырьмя. Заме-
тим, что волчок вида (10, ∗, ∗, 9, ∗, 8, 7, ∗, ∗, ∗) (сверху вниз), где звёздочки заменя-
ют числа от 1 до 6 в произвольном порядке, всё это реализует. (Один из таких
волчков показан справа.) Ответ для него 20 + 19 · 2 + 18 · 3 + 17 · 4 = 180.
Критерии. Минимизация — 3 балла (2 балла — оценка, 1 балл — ответ с примером).
Максимизация — 4 балла (2 балла — оценка, 2 балла — ответ с примером).
24
Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Заключительный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач
Используемые формулы
+20+11 = 100+ (1+..+10) = 155.волчков показан справа.) Ответ для него 20 + 19 · 2 + 18 · 3 + 17 · 4 = 180.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.