Задание №175368: Задание 6
6. Многочлен 𝑃(𝑥) на интервале𝑥 ∈ (0;1) дважды принимает значение 0 и дважды — значение 1. Докажите, что существует такая точка 𝑎 ∈ (0;1), что |𝑃′′(𝑎)| > 2. ( А. А. Теслер) Решение. Значения 0, 0, 1, 1 могут приниматься в различном порядке. Рассмотрим все 6 вариантов. а) 0, 0, 1, 1. Тогда между первыми двумя нулями есть точка с производной 0 (экстремум), между 0 и 1 — с производной больше 1 (поскольку приращение составило 1 на отрезке длиной менее 1), между 1 и 1 — снова с производной 0. Расстояние от второй точки до первой или до третьей меньше 1/2, а 𝑃′ успевает вырасти более чем на 1, значит, где-то 𝑃′′ > 2. б) 0, 1, 1, 0. Между первыми двумя точками есть точка с 𝑃′ > 1, между третьей и четвёртой — точка с 𝑃′ < −1. Где-то между этими точками 𝑃′′ < −2. в) 0, 1, 0, 1. Работает то же рассуждение, что и в пункте (б), причём четвёртая точка не нужна. г, д, е) Для порядков, начинающихся с единицы, всё аналогично (поскольку многочлен 𝑃 можно заменить многочленом 1 − 𝑃). Критерии. Если рассмотрены не все порядки расположения точек, то не больше 5 баллов. За наиболее существенный случай 0, 0, 1, 1 (или 1, 1, 0, 0) даётся 4 балла.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 6» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 6» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. Многочлен 𝑃(𝑥) на интервале𝑥 ∈ (0;1) дважды принимает значение 0 и дважды — значение 1.
Докажите, что существует такая точка 𝑎 ∈ (0;1), что |𝑃′′(𝑎)| > 2. ( А. А. Теслер)
Решение. Значения 0, 0, 1, 1 могут приниматься в различном порядке. Рассмотрим все 6 ва-
риантов.
а) 0, 0, 1, 1. Тогда между первыми двумя нулями есть точка с производной 0 (экстремум), между
0 и 1 — с производной больше 1 (поскольку приращение составило 1 на отрезке длиной менее
1), между 1 и 1 — снова с производной 0. Расстояние от второй точки до первой или до третьей
меньше 1/2, а 𝑃′ успевает вырасти более чем на 1, значит, где-то 𝑃′′ > 2.
б) 0, 1, 1, 0. Между первыми двумя точками есть точка с 𝑃′ > 1, между третьей и четвёртой —
точка с 𝑃′ < −1. Где-то между этими точками 𝑃′′ < −2.
в) 0, 1, 0, 1. Работает то же рассуждение, что и в пункте (б), причём четвёртая точка не нужна.
г, д, е) Для порядков, начинающихся с единицы, всё аналогично (поскольку многочлен 𝑃 мож-
но заменить многочленом 1 − 𝑃).
Критерии. Если рассмотрены не все порядки расположения точек, то не больше 5 баллов. За наиболее
существенный случай 0, 0, 1, 1 (или 1, 1, 0, 0) даётся 4 балла.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.