Задание №175332: Задание 6
6. В школе учатся 50 детей. Некоторые из них — рыцари (отвечают только правду), остальные — лжецы (всегда врут). Ещё в школе есть Директор и Учитель. На новогодний праздник к детям придёт Дед Мороз, в мешке у которого от 50 до 100 конфет включительно. Директор планирует написать 50 бумажек, на каждой из которых написаны два вопроса (один красной ручкой, другой синей). Каждый вопрос должен подразумевать ответ «да» или «нет». Потом Директор случайным образом раздаёт каждому ребёнку по одной бумажке, после чего уходит. 12 Далее начинается ёлка, на которой Дед Мороз по очереди вызывает детей на сцену. Оказавшись на сцене, ребёнок задаёт сначала красный вопрос Деду Морозу, а потом синий — случайному ребёнку. Учитель считает общее количество поступивших ответов «да» и сообщает его Директору. Помогите Директору придумать такие вопросы, чтобы по числу, полученному от Учителя, определить, сколько конфет у Деда Мороза. Кстати, Директор не помнит, сколько из детей — рыцари, а Дед Мороз честно отвечает на каждый заданный ему вопрос. ( И. М. Туманова, А. А. Теслер) Ответ: Например, Директор нумерует детей от 1 до 50, каждому вписывает синий вопрос «Ты рыцарь?» и красный вопрос «У тебя больше, чем 49 + 𝑘 конфет?», где 𝑘 — номер ребёнка. То есть один ребёнок задаёт Деду Морозу вопрос «У тебя больше 50 конфет?», второй «У тебя больше 51 конфеты?», ..., последний «У тебя больше 99 конфет?». Решение. Покажем, что количество ответов «да» в ситуации, описанной в ответе, равно количеству конфет. Действительно, на вопрос «Ты рыцарь?» любой ученик ответит «да» независимо от того, является он рыцарем или лжецом. Разберём вопросы учеников Деду Морозу. Если у Деда Мороза 𝑎 конфет, то он будет отвечать «да» тем ученикам, чей номер 𝑘 удовлетворяет неравенству 𝑎 > 49+𝑘, то есть при всех 𝑘 ⩽ 𝑎−50. Поскольку 50 ⩽ 𝑎 ⩽ 100, то количество таких учеников равно 𝑎 − 50 (от нуля при 𝑎 = 50 до 50 при 𝑎 = 100). В сумме с 50 ответами учеников на вопросы друг друга получается ровно 𝑎 ответов «да». Например, если конфет 70, то 50 ответов «да» дадут ученики и ещё 20 даст Дед Мороз, отвечая ученикам с номерами от 1 до 20. Критерии. Приведён подходящий алгоритм, но не объяснено, как и почему Директор может установить число конфет (по сути, только ответ без обоснования) — не более 5 баллов. Если предложенный алгоритм использует фразы вида «Скажи "да", если выполняется такое-то условие, и "нет" в противном случае», которые не являются вопросами — −2 балла, если их нельзя просто переформулировать в вопрос без потери смысла. Если предложенный алгоритм позволяет определить любое количество конфет, кроме какого-то одного (например, невозможно отличить 50 и 100 конфет) — не более 3 баллов. 13 Л А Е Д Международная математическая олимпиада У И М Н Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2025-2026 учебный год. Заключительный этап Е И Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 6» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 6» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. В школе учатся 50 детей. Некоторые из них — рыцари (отвечают только правду), остальные —
лжецы (всегда врут). Ещё в школе есть Директор и Учитель. На новогодний праздник к детям
придёт Дед Мороз, в мешке у которого от 50 до 100 конфет включительно. Директор планиру-
ет написать 50 бумажек, на каждой из которых написаны два вопроса (один красной ручкой,
другой синей). Каждый вопрос должен подразумевать ответ «да» или «нет». Потом Директор
случайным образом раздаёт каждому ребёнку по одной бумажке, после чего уходит.
12
Далее начинается ёлка, на которой Дед Мороз по очереди вызывает детей на сцену. Оказав-
шись на сцене, ребёнок задаёт сначала красный вопрос Деду Морозу, а потом синий — слу-
чайному ребёнку. Учитель считает общее количество поступивших ответов «да» и сообщает
его Директору. Помогите Директору придумать такие вопросы, чтобы по числу, полученному
от Учителя, определить, сколько конфет у Деда Мороза. Кстати, Директор не помнит, сколько
из детей — рыцари, а Дед Мороз честно отвечает на каждый заданный ему вопрос.
( И. М. Туманова, А. А. Теслер)
Ответ: Например, Директор нумерует детей от 1 до 50, каждому вписывает синий вопрос «Ты
рыцарь?» и красный вопрос «У тебя больше, чем 49 + 𝑘 конфет?», где 𝑘 — номер ребёнка. То
есть один ребёнок задаёт Деду Морозу вопрос «У тебя больше 50 конфет?», второй «У тебя
больше 51 конфеты?», ..., последний «У тебя больше 99 конфет?».
Решение. Покажем, что количество ответов «да» в ситуации, описанной в ответе, равно коли-
честву конфет. Действительно, на вопрос «Ты рыцарь?» любой ученик ответит «да» независи-
мо от того, является он рыцарем или лжецом. Разберём вопросы учеников Деду Морозу. Если
у Деда Мороза 𝑎 конфет, то он будет отвечать «да» тем ученикам, чей номер 𝑘 удовлетворяет
неравенству 𝑎 > 49+𝑘, то есть при всех 𝑘 ⩽ 𝑎−50. Поскольку 50 ⩽ 𝑎 ⩽ 100, то количество таких
учеников равно 𝑎 − 50 (от нуля при 𝑎 = 50 до 50 при 𝑎 = 100). В сумме с 50 ответами учеников
на вопросы друг друга получается ровно 𝑎 ответов «да».
Например, если конфет 70, то 50 ответов «да» дадут ученики и ещё 20 даст Дед Мороз, отвечая
ученикам с номерами от 1 до 20.
Критерии. Приведён подходящий алгоритм, но не объяснено, как и почему Директор может устано-
вить число конфет (по сути, только ответ без обоснования) — не более 5 баллов.
Если предложенный алгоритм использует фразы вида «Скажи "да", если выполняется такое-то усло-
вие, и "нет" в противном случае», которые не являются вопросами — −2 балла, если их нельзя просто
переформулировать в вопрос без потери смысла.
Если предложенный алгоритм позволяет определить любое количество конфет, кроме какого-то одно-
го (например, невозможно отличить 50 и 100 конфет) — не более 3 баллов.
13
Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Заключительный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач
Используемые формулы
учеников равно 𝑎 − 50 (от нуля при 𝑎 = 50 до 50 при 𝑎 = 100).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.