Задание №180993: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Сторона AB треугольника ABC касается вписанной и вневписанной окружностей в точках P и Q соответственно. Точка T — проекция середины AB на биссектрису угла C. Докажите, что точки C, P, Q, T лежат на одной окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(А.Заславский) Сторона AB треугольника ABC касается вписанной и вневпи-
санной окружностей в точках P и Q соответственно. Точка T — проекция середины
AB на биссектрису угла C. Докажите, что точки C, P, Q, T лежат на одной окруж-
ности.
Первое решение. Пусть M — середина AB, I — центр вписанной окружности
треугольника, K — точка этой окружности, противоположная P, L — основание
биссектрисы из C (рис. 7). Тогда точка K лежит на прямой CQ и \KIC = \PMT =
|\A − \B|=2. Кроме того, MP = |a − b|=2, ML = |a − b|c=(2(a + b)), где a, b, c —
длины сторон треугольника. Поэтому
A − B A − B A + B C
MT : MP = ccos : (a+b) = sinC cos : (sin A+sinB) = sinC : 2sin = sin :
2 2 2 2
Так как sin C = IK : IC, треугольники MTP и IKC подобны. Следовательно,
2
\QPT = \QCT и четырехугольник CPTQ вписанный.
5
C
K
I
M L
A B
Q P
T
Рис. 7.
Второе решение. Так как \IPM = \ITM = 90◦, точки I, P, T, M лежат на
одной окружности, т.е. \PTC = \LMI. Кроме того, MP = MQ = |a − b|=2, ML =
c|a − b|=2(a + b), следовательно, MQ : LM = (a + b) : c = CI : IL. Поэтому MI ∥ CQ,
\CQP = \CTP и точки C, P, Q, T лежат на одной окружности.
Используемые формулы
Тогда точка K лежит на прямой CQ и \KIC = \PMT =|\A − \B|=2.Кроме того, MP = |a − b|=2, ML = |a − b|c=(2(a + b)), где a, b, c —MT : MP = ccos : (a+b) = sinC cos : (sin A+sinB) = sinC : 2sin = sin :Так как sin C = IK : IC, треугольники MTP и IKC подобны.\QPT = \QCT и четырехугольник CPTQ вписанный.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.