Задание №178404: Турнир Ломоносова 2014
7. (10–11) Имеется бесконечная арифметическая прогрессия натураль ных чисел с ненулевой разностью. Из каждого её члена извлекли квад ратный корень и, если получилось нецелое число, округлили до ближай шего целого. Может ли быть, что все округления были в одну сторону?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2014» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 7. Ответ. Нет.
√
Решение. Разберёмся сначала, когда число 𝑎 округляется в мень
√
шую сторону, а когда в большую. Число 𝑎 округляется в меньшую
сторону до числа 𝑛, когда
√ 1
𝑛 < 𝑎 < 𝑛 + ,
2
то есть когда
1
𝑛2 < 𝑎 < 𝑛2 + 𝑛 + .
4
16
Таким образом, корень из натурального числа 𝑎 округляется вниз,
если 𝑎 попадает на какой-то отрезок вида [𝑛2 + 1; 𝑛2 + 𝑛] (на рисунке
показаны такие отрезки для 𝑛 = 2,3,4,5).
5 6 10 12 17 20 26 30
Теперь можно понять, почему хотя бы одно число будет округлено
вниз. Действительно, длина отрезка [𝑛2 + 1; 𝑛2 + 𝑛] всё время растёт
(она равна 𝑛 − 1) и начиная с какого-то 𝑛 становится больше разности
нашей прогрессии. Значит, какой-то член прогрессии на этот отрезок
точно попадёт («делая шаги длиной 1 м лужу длиной 10 м не пере
шагнуть»). Аналогично доказывается, что хотя бы одно число будет
округлено вверх.
Используемые формулы
√√ 1показаны такие отрезки для 𝑛 = 2,3,4,5).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.