Задание №180831: Командная олимпиада 2021
Докажите, что для любых положительных чисел 𝑎,𝑏,𝑐 справедливо неравенство (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 1)(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ⩾ 2𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1)2.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Докажите, что для любых положительных чисел 𝑎,𝑏,𝑐 справедливо неравен-
ство
(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 1)(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ⩾ 2𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1)2.
Первое решение. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
неравенство
∑ 𝑎2𝑏 + ∑ 𝑎3𝑏2 ⩾ 4 ∑ 𝑎2𝑏𝑐.
𝑠𝑦𝑚 𝑠𝑦𝑚 𝑠𝑦𝑚
Последнее верно, если сложить 6 неравенств типа
𝑎2𝑏 + 𝑏3𝑐2 ⩾ 2𝑎𝑏2𝑐.
Второе решение. По неравенству КБШ
𝑎 𝑏 𝑐
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1)2 ⩽ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 1)( + + + 1)
𝑏 𝑐 𝑎
𝑏 𝑐 𝑎
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1)2 ⩽ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 1)( + + + 1)
𝑎 𝑏 𝑐
Сложив эти два неравенства, получим
𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 (𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)
2(𝑎+𝑏+𝑐+1)2 ⩽ (𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎+1)( + + + + + +2) = (𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎+1) ,
𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐
откуда и следует требуемое неравенство.
Используемые формулы
2(𝑎+𝑏+𝑐+1)2 ⩽ (𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎+1)( + + + + + +2) = (𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎+1) ,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.