Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2026Олимпиадный

Задание №180994: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026

Условие

В треугольнике ABC \B = 30◦, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, окружности AIB, CIB пересекают BC, AB соответственно в точках D, E. Докажите, что D — ортоцентр треугольника OEI.

📎 2026_zaoch_rus.pdf📎 2026_zaoch_sol_rus.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
Организатор
Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
Год материала
2026
Материалы
2 файла
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2026Олимпиада Шарыгина 2026 · тип 8анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

(Д.Крохалев, Г.Кузнецов, А.Коваленко) В треугольнике ABC \B = 30◦, O —
центр описанной окружности, I — центр вписанной, окружности AIB, CIB пере-
секают BC, AB соответственно в точках D, E. Докажите, что D — ортоцентр тре-
угольника OEI.
Решение. Так как \B = 30◦, получаем, что \AIC = 105◦, \AID = \CIE = 150◦.
Тогда \AIE = \CID = 105◦, т.е. точки D, E симметричны A, C относительно CI, AI

соответственно. Поэтому AE = CD = AC = AO = CO и \ODI = \ODC − \IDC =
90◦ − \DOC=2 − \A=2 = 120◦ − \C=2 − \A=2 = 45◦ (рис. 8). Но \EID = 45◦,
следовательно, OD ⊥ IE. Аналогично OE ⊥ ID.




















6

B








D
E
O




I


A C
Рис. 8.

Используемые формулы

  • (Д.Крохалев, Г.Кузнецов, А.Коваленко) В треугольнике ABC \B = 30◦, O —
  • Так как \B = 30◦, получаем, что \AIC = 105◦, \AID = \CIE = 150◦.
  • Тогда \AIE = \CID = 105◦, т.е.
  • Поэтому AE = CD = AC = AO = CO и \ODI = \ODC − \IDC =
  • 90◦ − \DOC=2 − \A=2 = 120◦ − \C=2 − \A=2 = 45◦ (рис.
  • Но \EID = 45◦,

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: