Задание №180290: Математический праздник 2005
Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты. а) [2 балла] Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше). б) [4 балла] Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Математический праздник 2005» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Математический праздник — официальный архив · 2005
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Математический праздник — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2005
- Материалы
- 0 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Математический праздник 2005» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ. а) 10, 10 и 80; б) нет.
Решение. а) Лиса раскладывает конфеты так: 10, 10 и 80. Если
ей достанется кучка из 80 конфет, то медвежатам достанется поровну
конфет, и они не будут жаловаться. Если ей достанется кучка из 10 конфет,
то, для того чтобы уравнять доли медвежат, ей придётся съесть ещё
70 конфет.
Примечание. Можно показать, что это - единственный способ действия
Лисы. В самом деле, поскольку в итоге лиса съест 80 конфет, то медвежата
съедят по (100-80)/2=10 конфет. Так как у одного из медвежат количество конфет
не менялось, то в кучке, доставшейся ему по жребию, было 10 конфет.
Следовательно, какая бы кучка ни досталась Лисе по жребию, среди двух
оставшихся обязательно есть кучка из 10 конфет. То есть кучек по 10 конфет
по крайней мере две (если бы такая кучка из 10 конфет была лишь одна, то она
по жребию могла достаться Лисе, и среди двух оставшихся не нашлось бы кучки
из 10 конфет). Следовательно, Лиса может разложить конфеты по кучкам так,
чтобы в итоге получить ровно 80 конфет, единственным способом.
б) Покажем, что число конфет, съеденных Лисой, всегда чётно (и поэтому не
может быть равным 65). В итоге медвежата съели поровну конфет, поэтому
суммарное число конфет, съеденных медвежатами, чётно. Так как 100 - чётное
число, то Лиса также съела чётное число конфет.
Используемые формулы
съедят по (100-80)/2=10 конфет.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.