Задание №180810: Командная олимпиада 2024
В треугольнике ABC угол ∠BAC прямой. Пусть I – центр вписанной окружности ABC, а точки D и E – основания биссектрис на сторонах AC и AB соответственно. Точки P и Q на стороне BC таковы, что IP ∥ AB и IQ ∥ AC. Докажите, что BE + CD = 2PQ.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Легко видеть, что треугольники ABC и IPQ подобны. При этом ко-
эффициент подобия можно выразить через отношение высоты и радиуса впи-
санной окружности исходного треугольника. Запишем площадь треугольника
ABC двумя способами: S = ah /2 = (a+b+c)r/2. Тогда h /r = a/(a+b+c). То-
a a
гда сторону PQ треугольника APQ можно выразить как a2/(a+b+c). Заметим,
ac
что по свойству биссектрисы BE/EA = b/a, а значит BE = . Аналогично
a + b
ab ac ab 2a2
CD = . Остается заметить, что + = . Действитель-
a + c a + b a + c a + b + c
c b 2a c(a + c) + b(a + b) 2a
но, + = равносильно = и с
a + b a + c a + b + c (b + c)(a + c) a + b + c
ac + ab + a2 2a
учетом того, что треугольник прямоугольный = . Отсю-
(b + c)(a + c) a + b + c
да получаем(a + b + c)2 = 2(a + b)(a + c) или a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca =
2ab + 2bc + 2ac + 2a2, а это эквивалентно b2 + c2 = a2.
Решение. Отразим отрезки BE и CD относительно соответствующих биссек-
трис треугольника. Получим точки E′ и D′ на BC. Легко видеть после непосред-
ственного подсчета углов, что углы BID′ и CIE′ – прямые. В то же время из па-
раллельности IP = PB и IQ = QC. Тогда из свойств прямоугольного треуголь-
ника IP = PB = PD′ и IQ = QC = QE′. Тогда 2PQ = 2PD′ + 2QE′ − 2D′E′ =
(BD′ − D′E′) + (CE′ − D′E′) = BE′ + CD′ = BE + CD.
Журнал Crux, 2000, №1
Используемые формулы
ABC двумя способами: S = ah /2 = (a+b+c)r/2.Тогда h /r = a/(a+b+c).что по свойству биссектрисы BE/EA = b/a, а значит BE = .CD = .Остается заметить, что + = .но, + = равносильно = и с
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.