Задание №180811: Командная олимпиада 2024

Решение. Отметим точку O – центр описанной окружности шестиугольника
ABCDEF. Условие, которое нужно доказать, эквивалентно тому, что OK ⊥
CF. Заметим, что точки B, K, O и D лежат на одной окружности, поскольку
1
∠BKD = ∠AFC = ACE = BCD = ∠BOD. Пусть прямые AB и CD пересе-
2
каются в точке S. Рассмотрим гомотетию с центром в S, переводящую точку
B в точку A. Тогда D переходит в C, точка K – в точку K′, лежащую на опи-
санной окружности исходного шестиугольника. Поскольку при этой гомотетии
треугольник BKD перешел в треугольник AK′E, то и описанная окружность
должна была перейти в описанную окружность. Тогда точка O, лежавшая на
первой описанной окружности, перейдет в точку C′, диаметрально противопо-
ложную C. Угол CK′C′ опирается на диаметр и потому прямой. При нашей
гомотетии OK перешло в C′K′, а значит тоже образовывало прямой угол с
CK′. Такое возможно только если K′ совпадает с точкой F, а значит остается
доказать этот факт. Заметим, что если рассмотреть ГМТ F, задаваемых ве-
личиной угла BKC, лежащих в соответствующей полуплоскости от AE. Это
ухо чебурашки, построенное на EK. Тогда на описанной окружности есть ров-
но одна точка, с заданным углом (вторая – точка E). Остается проверить, что
K′ является подходящей. А это так, поскольку ∠SK′E = ∠SKD по свойству
гомотетии.
Китай, отбор на IMO, 2016