Задание №176391: ОММО 2019
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение log (2x2 + (2a + 1)x − 2a) − 2log (x2 + 3ax + 2a2) = 0 2 4 имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше 4?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2019» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2019
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2019
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2019» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение
log (2x2 + (2a + 1)x − 2a) − 2log (x2 + 3ax + 2a2) = 0
2 4
имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше 4?
(cid:0) (cid:1)
Ответ: (−∞;−1) ∪ 3;1 .
5
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
log (2x2 + (2a + 1)x − 2a) = log (x2 + 3ax + 2a2).
2 2
Заметим, что это уравнение эквивалентно системе
(cid:26)
2x2 + (2a + 1)x − 2a = x2 + 3ax + 2a2
,
x2 + 3ax + 2a2 > 0
или
(cid:26)
x2 − (a − 1)x − 2a(a + 1) = 0 (1)
.
(x + a)(x + 2a) > 0 (2)
4
ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант I
По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа x = 2a и x = −a−1.
1 2
Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия:
(2a + a)(2a + 2a) > 0
(−a − 1 + a)(−a − 1 + 2a) > 0 ,
2a (cid:54)= −a − 1
то есть a (cid:54)= 0, a (cid:54)= −1, a < 1.
3
Сумма квадратов x и x должна быть больше 4, то есть 4a2 +(a+1)2 > 4, 5a2 +2a−3 > 0, откуда
1 2
(cid:0) (cid:1)
a ∈ (−∞;−1) ∪ 3;∞ . Пересекая все четыре полученных условия, получаем ответ.
5
Используемые формулы
log (2x2 + (2a + 1)x − 2a) − 2log (x2 + 3ax + 2a2) = 0log (2x2 + (2a + 1)x − 2a) = log (x2 + 3ax + 2a2).2x2 + (2a + 1)x − 2a = x2 + 3ax + 2a2x2 − (a − 1)x − 2a(a + 1) = 0 (1)По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа x = 2a и x = −a−1. 2a (cid:54)= −a − 1
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.