Задание №178365: Турнир Ломоносова 2013

Задача 5. Построим чертёж: предмет 𝐴 1 𝐴 2, линза и изображение
𝐵 1 𝐵 2.
Отношения размеров предмета и изображения (в направлении, пер
пендикулярном главной оптической оси линзы) пропорциональны отно
шению расстояний от линзы до предмета и от линзы до изображения.
Это следует из того, что соответствующие точки предмета и изобра
жения соединяются прямыми линиями (лучами), проходящими через
оптический центр линзы. Соответственно, отрезки любых двух таких
лучей с одной и с другой стороны линзы являются сторонами подобных
треугольников (по трём углам — вертикальные углы в точке пересече
ния лучей в оптическом центре линзы и внутренние накрестлежащие
углы, образованные лучами с параллельными отрезками 𝐴 1 𝐴 2 и 𝐵 1 𝐵 2).
Изображение
𝐵
1
Предмет Линза
𝐴 𝑂
1 1
𝐴 𝐹
𝑂 𝐵
𝐴
2
𝑓
𝐵
2
𝑎 𝑏
Увеличение можно рассчитать из подобия треугольников 𝑂𝐴𝐴 1 и
𝑂𝐵𝐵
2
(𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 = 𝑏, 𝐿 = 𝑎 + 𝑏):
𝐵𝐵 𝑏
2
𝑛 = | | = ; 𝑏 = 𝑛𝑎
𝐴𝐴 𝑎
1
| |
41

Аналитический способ решения. В соответствии с формулой тонкой
линзы
(︂ )︂2 (︂ )︂2
1 1 1 𝑎 + 𝑏 𝐿 𝐿 1 𝐿 𝑛 + 1
= + = = = = =
𝑓 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑛𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎(𝑛 + 1)
·
𝐿 (︂ 𝑛 + 1 )︂2 𝐿 (︂ 𝑛 + 1 )︂2 𝐿 (︂ 𝑛 + 1 )︂2 𝐿 (𝑛 + 1)2
= = = = (𝑛+1)2 =
𝑛 𝑛𝑎 + 𝑎 𝑛 𝑏 + 𝑎 𝑛 𝐿 𝑛𝐿2 𝑛𝐿
Отсюда
𝑛𝐿
𝑓 =
(𝑛 + 1)2
Геометрический способ решения. Используем свойство луча, падаю
щего на линзу параллельно её главной оптической оси. Это даёт подоб
ные треугольники 𝐹𝑂𝑂 1 и 𝐹𝐵𝐵 2, где 𝑂𝑂 1 = 𝐴𝐴 1. Отсюда
𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐹𝐵 𝑏 𝑓
2 2 2
𝑛 = = = = = −
𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝑂𝑂 𝐹𝑂 𝑓
1 1 1
𝑏
1 = 𝑛
𝑓 −
𝑏
= 𝑛 + 1
𝑓
𝑏 𝑛𝑎 𝑛 𝑎(𝑛 + 1) 𝑛(𝑛𝑎 + 𝑎) 𝑛(𝑏 + 𝑎) 𝑛𝐿
𝑓 = = = · = = =
𝑛 + 1 𝑛 + 1 (𝑛 + 1)2 (𝑛 + 1)2 (𝑛 + 1)2 (𝑛 + 1)2
В каждом из двух представленных способов решения была получена
одна и та же формула для 𝑓. Подставим в эту формулу численные
значения и получим окончательный ответ:
𝑛 3 3
𝑓 = 𝐿 = 1 м = м = 0,1875 м
(𝑛 + 1)2 (3 + 1)2 · 16
Замечание. Указание о том, что рассматриваются размеры пред
мета и изображения, перпендикулярные главной оптической оси линзы,
важно. Для размеров в других направлениях соотношения будут дру
гими. В частности, продольное увеличение линзы равно квадрату попе
речного увеличения для тех же предмета и изображения.
42