Задание №178366: Турнир Ломоносова 2013

Задача 6. Решение задачи путём нахождения зависимости скоростей
шариков от времени и вычисления предела этих зависимостей при вре
мени, стремящемся к бесконечности, выходит за рамки школьной про
граммы.
Вместо этого можно воспользоваться законами сохранения энергии
и импульса с учётом приведённой в условии формулы для энергии элек
тростатического взаимодействия зарядов.
Однако законы сохранения энергии и импульса — это 2 уравнения,
а требуется найти 3 неизвестные величины (скорости трёх шариков).
Ещё одно необходимое уравнение можно получить следующим обра
зом. Пронумеруем шарики индексами 1, 2, 3 по порядку слева направо.
1 2 3
𝑞, 𝑚 4𝑞, 3𝑚 9𝑞, 2𝑚
𝑋
𝑥 2𝑥 4𝑥
Начальные расстояния от среднего шарика до двух крайних 𝑅 12 и
𝑅 23 относятся, как 1 к 2. А если найти ускорения шариков в начальный
момент, то их разницы (а1 а2 ) и (а3 а2 ) тоже относятся, как 1 к 2.
− −
Это означает, что и в любой другой момент времени отношение этих
расстояний будет таким же! Тогда такое же соотношение верно в любой
момент времени и для скоростей:
2(𝑣 𝑣 ) = (𝑣 𝑣 )
1 2 3 2
− −
Это дополнительное кинематическое соотношение вместе с двумя
уравнениями, полученными на основе законов сохранения, позволяет
найти простое (школьное) решение задачи.
Проведём все необходимые выкладки в соответствии с изложенным
выше планом решения.
Определим силы, действующие на шарики 1, 2 и 3 (знаки сил
выбраны в соответствии с направлением оси 𝑋, указанным на рисунке).
𝑞 4𝑞 𝑞 9𝑞 4𝑞2 9𝑞2 4𝑞2 𝑞2 𝑞2
𝐹 = 𝑘 · 𝑘 · = 𝑘 𝑘 = 𝑘 𝑘 = 5𝑘
1 − (2𝑥 𝑥)2 − (4𝑥 𝑥)2 − 𝑥2 − 9𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥2
− −
4𝑞 𝑞 4𝑞 9𝑞 4𝑞2 36𝑞2 4𝑞2 9𝑞2 𝑞2
𝐹 = 𝑘 · 𝑘 · = 𝑘 𝑘 = 𝑘 𝑘 = 5𝑘
2 (2𝑥 𝑥)2 − (4𝑥 2𝑥)2 𝑥2 − 4𝑥2 𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥2
− −
𝑞 9𝑞 4𝑞 9𝑞 9𝑞2 36𝑞2 𝑞2 9𝑞2 𝑞2
𝐹 = 𝑘 · + 𝑘 · = 𝑘 + 𝑘 = 𝑘 + 𝑘 = 10𝑘
3 (4𝑥 𝑥)2 (4𝑥 2𝑥)2 9𝑥2 4𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥2
− −
43

Воспользовавшись вторым законом Ньютона, найдём ускорения
шариков
𝐹 𝑞2
1
𝑎 = = 5 𝑘
1 𝑚 − · 𝑚𝑥2
𝐹 𝑞2 5 𝑞2
2
𝑎 = = 5𝑘 = 𝑘
2 3𝑚 − 3𝑚𝑥2 −3 · 𝑚𝑥2
𝐹 𝑞2 𝑞2
3
𝑎 = = 10𝑘 = 5 𝑘
3 2𝑚 2𝑚𝑥2 · 𝑚𝑥2
Найдём соотношение ускорений
5 𝑞2 (︂ 𝑞2 )︂ 5
𝑘 5 𝑘 + 5
𝑎 2 𝑎 1 −3 · 𝑚𝑥2 − − · 𝑚𝑥2 −3 5 + 3 5 10 1
𝑎 − 𝑎 = 𝑞2 (︂ 5 𝑞2 )︂ = 5 = − 3 5 + · 5 = 20 = 2
3 − 2 5𝑘 𝑘 5 + ·
𝑚𝑥2 − −3 · 𝑚𝑥2 3
Напомним, что в соответствии с условием в начальный момент вре
мени для координат шариков верно аналогичное соотношение
𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 𝑥 1
2 1
− = − = =
𝑥 𝑥 4𝑥 2𝑥 2𝑥 2
3 2
− −
Заметим, что для приведённого в условии соотношения координат
получается найденное соотношение ускорений (так получается для
любого значения 𝑥, а не только для какого-то конкретного). В свою
очередь, если шарики будут двигаться с таким соотношением ускоре
ний, выполнявшееся в начале указанное соотношение координат будет
сохраняться. Таким образом, для выполнения одного из этих соотноше
ний достаточно выполнения другого, и наоборот. Следовательно, оба
этих соотношения будут выполняться в любой момент времени.
Для того, чтобы в любой момент времени было справедливо соотно
шение
𝑥 𝑥 1
2 1
− =
𝑥 𝑥 2
3 2
−
для координат, необходимо выполнение в любой момент времени анало
гичного соотношения для скоростей шариков:
𝑣 𝑣 1
2 1
− =
𝑣 𝑣 2
3 2
−
Воспользовавшись приведённой в условии формулой, определим пол
ную энергию электростатического взаимодействия зарядов в начальный
44

момент:
𝑞 4𝑞 4𝑞 9𝑞 𝑞 9𝑞 4𝑞2 36𝑞2 9𝑞2
𝑊 = 𝑘 · + 𝑘 · + 𝑘 · = 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 =
2𝑥 𝑥 4𝑥 2𝑥 4𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥 3𝑥
− − −
4𝑞2 18𝑞2 3𝑞2 𝑞2
= 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 = 25𝑘
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
Понятно (в частности, из полученных соотношений для координат),
что через бесконечно большое время расстояние между любыми двумя
зарядами будет бесконечно большим, и, следовательно, энергия элек
тростатического взаимодействия зарядов друг с другом будет равна 0.
Теперь мы можем записать и решить систему уравнений для ско
ростей шариков, которые они будут иметь через бесконечно большое
время. Первое уравнение соответствует закону сохранения энергии, вто
рое — закону сохранения импульса, третье представляет собой получен
ное дополнительное соотношение для скоростей.
⎧ 𝑚𝑣2 3𝑚𝑣2 2𝑚𝑣2
⎪⎪⎪⎪⎨
2
1 +
2
2 +
2
3 = 𝑊
𝑚𝑣 + 3𝑚𝑣 + 2𝑚𝑣 = 0
1 2 3
⎪⎪⎪⎪⎩
𝑣
2
−
𝑣
1
=
1
𝑣 𝑣 2
3 2
−
Перепишем эту систему в более удобной форме.
⎧ 2
⎪⎪⎨ 𝑣
1
2 + 3𝑣
2
2 + 2𝑣
3
2 =
𝑚
𝑊
𝑣 + 3𝑣 + 2𝑣 = 0
⎪⎪⎩ 1 2 3
2𝑣 3𝑣 + 𝑣 = 0
1 2 3
−
Складывая второе и третье уравнения, выясняем, что 𝑣 3 = 𝑣 1.
−
Подставляя это соотношение во второе уравнение системы, выяс
няем, что 𝑣 2 = 𝑣 1 /3.
Выразим в первом уравнении системы 𝑣 2 и 𝑣 3 через 𝑣 1.
(︁𝑣 )︁2 2
𝑣2 + 3 1 + 2( 𝑣 )2 = 𝑊
1 3 − 1 𝑚
1 2
𝑣2 + 𝑣2 + 2𝑣2 = 𝑊
1 3 1 1 𝑚
5
𝑣2 = 𝑊
1 3𝑚
45

Окончательно получаем:
⎧ √︂ √︂ √︂
5 5 𝑞2 5𝑘
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ 𝑣
1
=
3𝑚
𝑊
√︂
=
3𝑚 ·
25𝑘
𝑥
= 5𝑞
3𝑚𝑥
𝑣 5𝑞 5𝑘
1
𝑣 = =
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑣
=
3
𝑣 =
3
5𝑞
√︂
3𝑚𝑥
5𝑘
3 1
− − 3𝑚𝑥
Обратите внимание на то, что в данном случае 𝑥 — это начальное
значение из условия, а 𝑣 1, 𝑣 2 и 𝑣 3 — скорости шариков через бесконечно
большое время (то есть как раз те значения, которые и требовалось
найти в условии). Полученные формулы не следует интерпретировать
как зависимости скоростей от координаты 𝑥 в процессе движения шари
ков (что, к сожалению, ошибочно сделали некоторые участники Тур
нира).