Задание №180979: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025

(П.Пучков, Е.Уткин) Пусть O, I — центры описанной и вписанной окруж-
ностей неравнобедренного остроугольного треугольника ABC; D, E, F — точки ка-

сания его вневписанной окружности со стороной BC и продолжениями сторон AC
и AB соответственно. Докажите, что если ортоцентр треугольника DEF лежит на
описанной окружности треугольника ABC, то он симметричен середине дуги BC
относительно прямой OI.
Решение. Пусть D′, E′, F′ — вторые точки пересечения высот треугольника DEF с
его описанной окружностью. Тогда высоты являются биссектрисами углов треуголь-

ника D′E′F′ (внутренней и двумя внешними) и, значит, параллельны соответствую-
щим биссектрисам углов треугольника ABC. Поэтому стороны этих треугольников

12

также параллельны, т.е. треугольники гомотетичны. При этой гомотетии O и центр
I вневписанной окружности переходят в I и ортоцентр H треугольника DEF со-
A A
ответственно, следовательно, H лежит на прямой I O и I H : OI = r : R. Отсюда
A A A A
и из равенств OI = R2 + 2Rr , OH = R получаем, что OI = 2R. Кроме того,
A A A
известно, что середина W дуги BC делит пополам отрезок II . Поскольку средняя
A
линия WM треугольника OII перпендикулярна HW, то и OI ⊥ HW (рис. 17), что
A
равносильно утверждению задачи.
H
A


O
I





M
W



I
A
Рис. 17.