Задание №180986: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается граней ABC, BCD, CDA, DAB в точках D′, A′, B′, C′ соответственно. Обозначим через S площадь треугольника AB AC′B. Анал√огично опр√еделим S A√C , S BC , S AD , S BD , S CD . Докажите, что из отрезков с длинами S S , S S , S S можно составить треугольник. AB CD AC BD AD BC 4
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(С.Арутюнян) Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается граней ABC,
BCD, CDA, DAB в точках D′, A′, B′, C′ соответственно. Обозначим через S
AB
площадь треугольника AC′B. Анал√огично опр√еделим S AC√, S
BC
, S
AD
, S
BD
, S
CD
. До-
кажите, что из отрезков с длинами S S , S S , S S можно составить
AB CD AC BD AD BC
треугольник.
Решение. Будем использовать известный факт, что \AC′B = \AD′B = \CA′D =
\CB′D, и три аналогичных равенства. Обозначим через a, b, c, d и α, β, γ длины
касательных к сфере из точек A, B, C, D и углы BD′C, CD′A, AD′B соответственно.
Тогда
abcd sin2 γ
S S = .
AB CD
4
Поскольку углы α, β, γ меньше π, утверждение задачи равносильно существованию
треугольника со сторонами, равными sin α, sin β, sinγ, которое, очевидно, следует
из равенства α + β + γ = 2π. Например, можно взять треугольник, образованный
прямыми, перпендикулярными D′A, D′B, D′C.
18
Используемые формулы
Анал√огично опр√еделим S AC√, SБудем использовать известный факт, что \AC′B = \AD′B = \CA′D =S S = .Поскольку углы α, β, γ меньше π, утверждение задачи равносильно существованиютреугольника со сторонами, равными sin α, sin β, sinγ, которое, очевидно, следуетиз равенства α + β + γ = 2π.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.