Задание №180985: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Будем говорить, что множество M точек плоскости содержит дыру, если существует круг, не содержащийся в M, но содержащийся внутри многоугольника, граница которого лежит в M. Можно ли представить плоскость в виде объединения n таких выпуклых множеств, что объединение любых n − 1 из них имеет дыры?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Н.Спивак) Будем говорить, что множество M точек плоскости содержит
дыру, если существует круг, не содержащийся в M, но содержащийся внутри много-
угольника, граница которого лежит в M.
Можно ли представить плоскость в виде объединения n таких выпуклых множеств,
что объединение любых n − 1 из них имеет дыры?
Ответ. Да.
Решение. Пусть n = 6; множество M — это правильный пятиугольник A A A A A ,
0 1 2 3 4 5
а множества M ,i = 1,...,5 — полуплоскости ограниченные прямыми A A (A =
i i i+1 i+5
17
A ), не содержащие пятиугольник. Тогда объединение всех множеств M — вся плос-
i i
кость, объединение пяти множеств M ,...,M — плоскость без пятиугольника M , а
i 5 0
объединение пяти множеств без множества M — плоскость без треугольника, обра-
i
зованного прямыми A A , A A и A A .
i−1 i i i+1 i+1 i+2
Примечание. Жюри неизвестно, существуют ли примеры для n < 6.
Используемые формулы
Пусть n = 6;а множества M ,i = 1,...,5 — полуплоскости ограниченные прямыми A A (A =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.