Задание №180983: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Внутри четырёхугольника ABCD отметили точку P такую, что \APB + \CPD = 180◦. Точки P , P , P , P изогонально сопряжены P в треугольниках BCD, a b c d CDA, DAB, ABC. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и P P P P совпадают. a b c d
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Г.Галяпин) Внутри четырёхугольника ABCD отметили точку P такую, что
\APB + \CPD = 180◦. Точки P , P , P , P изогонально сопряжены P в треуголь-
a b c d
никах BCD, CDA, DAB, ABC. Докажите, что точки пересечения диагоналей четы-
рёхугольников ABCD и P P P P совпадают.
a b c d
Решение. Так как \APB +\CPD = 180◦, существует точка Q, изогонально сопря-
женная P относительно четырехугольника ABCD. Тогда точки P , P лежат соот-
c a
ветственно на прямых AQ, CQ так, что \P BQ = \DBC, \P BQ = \DBA (рис. 21).
c a
Поэтому AP : P Q = AB sin\ABP : BQsin \P BQ, QP : P C = BQsin \QBP :
c c c c a a a
BC sin \P BC и по теореме Менелая прямая P P делит AC в отношении PAsin\ABD :
a a c
PC sin\DBC. Следовательно, эта прямая проходит через точку L пересечения AC
и BD (рис. 21). Аналогично получаем, что P P проходит через L.
b d
15
B
P
L a
A
C
P
c
Q
Рис. 21.
Используемые формулы
\APB + \CPD = 180◦.Так как \APB +\CPD = 180◦, существует точка Q, изогонально сопря-ветственно на прямых AQ, CQ так, что \P BQ = \DBC, \P BQ = \DBA (рис.Поэтому AP : P Q = AB sin\ABP : BQsin \P BQ, QP : P C = BQsin \QBP :BC sin \P BC и по теореме Менелая прямая P P делит AC в отношении PAsin\ABD :PC sin\DBC.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.