Задание №180980: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Дан четырехугольник ABCD. Вневписанные окружности ω и ω треуголь- 1 2 ников ABC и BCD, касающиеся сторон AB и BD соответственно, касаются продолжения стороны BC в общей точке P. Отрезок AD пересекает ω в точке Q, а прямая 2 AD пересекает ω в точках R и S. Докажите, что один из углов RPQ и SPQ прямой. 1
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(И.Кухарчук) Дан четырехугольник ABCD. Вневписанные окружности ω
1
и ω треугольников ABC и BCD, касающиеся сторон AB и BD соответственно,
2
касаются продолжения стороны BC в общей точке P. Отрезок AD пересекает ω в
2
точке Q, а прямая AD пересекает ω в точках R и S. Докажите, что один из углов
1
RPQ и SPQ прямой.
Решение. Утверждение задачи равносильно тому, что AD проходит через центр
гомотетии с отрицательным коэффициентом переводящей ω в ω . Пусть ω касается
1 2 1
BA в E, а AC в G. Пусть также ω касается BD в F, а CD в L.
2
Тогда из теорем Менелая для треугольника ABD и прямой EF, а также треуголь-
ника ACD и прямой GL следует, что EF и GL пересекаются на AD, но, с другой
стороны, на EF лежит центр гомотетии с отрицательным коэффициентом, посколь-
ку EF пересекает ω вторично в точке, касательная в которой параллельна BD.
1
Аналогично c GL (рис. 18).
13
L
D
Q
G
A
F E
S
C B P
Рис. 18.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.