Задание №180984: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025

(А.Заславский) Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фоку-
сами F , F . Постройте хорду окружности AB, касающуюся эллипса и такую, что
1 2
четырехугольник AF F B — вписанный.
1 2
Первое решение.
Лемма. Пусть AB — произвольная хорда, касающаяся эллипса. Тогда геометриче-
ским местом центров окружностей ABF является окружность.
1
Доказательство. Пусть O, R — центр и радиус данной окружности; O′ — центр
окружности ABF ; H — проекция F на AB (рис. 22). Очевидно, что OO′ ∥ F H.
1 1 1
Применяя теорему косинусов к треугольника O′OA и O′OF , получаем
1
O ′ F2 = O ′ O2+OF2−2OO ′·OF cos\O ′ OF , O ′ A2 = O ′ O2+R2−2O ′ O·OAcos\O ′ OA.
1 1 1 1
Вычитая из первого равенства второе, получаем
R2 − OF2 = 2O ′ O(OAcos\O ′ OA − OF cos\O ′ OF ).
1 1 1
Выражение в скобках представляет разность проекций отрезков OA и OF на прямую
1
OO′ и, следовательно равно F H. Таким образом, произведение OO′·F H не зависит
1 1
от хорды AB.










16

B
F
1 H




O
O′





A


Рис. 22.


Пусть E — полюс прямой AB относительно некоторой окружности с центром F .
1
Тогда F E ∥ OO′ и отношение OO′ : F E не зависит от AB, поскольку произве-
1 1
дения F H · OO′ и F H · F E не зависят от AB. Значит, прямая O′E пересекает
1 1 1
OF в фиксированной точке X. Поэтому геометрическое место точек O′ гомотетич-
1
но относительно X полярному образу эллипса относительно F , который является
1
окружностью.
Вернемся к задаче. Поскольку касательные к эллипсу можно построить циркулем и
линейкой, мы можем построить геометрические места центров окружностей ABF и
1
ABF . Любая точка их пересечения является центром искомой окружности.
2
Второе решение. Обозначим через D и E точки пересечения данной окружности
ω и прямой F F . Пусть S на F F это точка со свойством SD · SE = SF · SF . Для
1 2 1 2 1 2
построения этой точки можно построить любую окружность, проходящую через фо-
кусы F и F и пересекающую ω. Точка S — это пересечение радикальной оси этих
1 2
окружностей (общей хорды) и прямой F F . Пусть Ω — это окружность, диаметром
1 2
которой является большая ось данного эллипса, S′ –– точка инверсная S относитель-
но Ω, C –– точка эллипса такая, что CS′ ⊥ F F , A и B — точки пересечения ω и CS.
1 2
Тогда CS касается эллипса, а AF F B является вписанным четырехугольником.
1 2