Задание №180982: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, а M и N — середины BC и AH соответственно. Перпендикуляр из N к прямой MH пересекает BC в точке A′. Точки B′ и C′ определяются аналогично. Докажите, что точки A′, B′, C′ лежат на одной прямой.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Ф.Ивлев) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, а M
и N — середины BC и AH соответственно. Перпендикуляр из N к прямой MH
пересекает BC в точке A′. Точки B′ и C′ определяются аналогично. Докажите, что
точки A′, B′, C′ лежат на одной прямой.
Решение. Так как MN — диаметр окружности девяти точек, проекция N на MH
лежит на этой окружности (рис. 20). Поэтому A′ лежит на поляре H относительно
окружности девяти точек. Точки B′, C′ также лежат на этой прямой.
A
N
H
C A′
M B
Рис. 20.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.