Задание №180978: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(А.Заславский) Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на
биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между
вершиной этого угла и центром вписанной окружности.
Первое решение. Пусть точка Фейербаха F треугольника ABC лежит на биссек-
трисе угла C. Тогда на этой же биссектрисе лежит и центр E окружности девяти
точек, являющийся серединой отрезка между ортоцентром H и центром описанной
окружности O. При этом CE — биссектриса угла OCH, следовательно точки O и
H симметричны относительно биссектрисы и CO = CH = 2CO|cos\C|, т.е. угол
C равен π/3 или 2π/3. Но во втором случае точки O и H симметричны относи-
тельно внешней, а не внутренней биссектрисы угла C. Таким образом, \C = π/3 и
CF = r = CI sin(\C/2) = CI/2.
Второе решение. Точка F является центром равносторонней гиперболы, проходя-
щей через A, B, C, I. Так как прямая CI проходит через центр гиперболы, точки C
и I симметричны относительно F.
Используемые формулы
H симметричны относительно биссектрисы и CO = CH = 2CO|cos\C|, т.е.C равен π/3 или 2π/3.Таким образом, \C = π/3 иCF = r = CI sin(\C/2) = CI/2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.