Задание №180964: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025

(А. Кузнецов) На плоскости даны 4 точки, не лежащие на одной окружности
и такие, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется
точка Z такая, что для любой из данных точек точка, симметричная ей относительно
Z, лежит на окружности, проходящей через оставшиеся данные точки.
Решение. Пусть A, B, C, D — данные точки; K, L, M, N, P, Q — середины от-

резков AB, BC, CA, BD, CD, AD. Чтобы точка, симметричная D относительно Z,
лежала на окружности ABC, необходимо и достаточно чтобы Z лежала на окруж-
ности NPQ. Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что окружности NPQ,


1

KMQ, KLN и LMP имели общую точку. Обозначим через Z вторую точку пере-
сечения окружностей KLN и NPQ (рис.2). Тогда \LZN = \LKN = \CAD (по-

следнее равенство следует из того, что KL ∥ AC и KN ∥ AD как средние линии
треугольников ABC, ABD соответственно). Аналогично \NZP = \BAC и, значит,
\LZP = \BAC = \LMP. Следовательно, Z лежит на окружности LMP. Анало-
гично получаем, что Z лежит на окружности KMQ.







B






K L

Z
N


A C

P
Q

D



Рис. 2.

Примечание. Задачу также можно решить, воспользовавшись тем фактом, что
окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA, DAB имеют общую
точку. Точка Z симметрична этой точке относительно центра тяжести точек A, B,

C, D.