Задание №180977: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Точка C лежит на биссектрисе острого угла с вершиной S. Точки P, Q — проекции C на стороны угла. Окружность с центром C и радиусом PQ пересекает стороны угла в точках A и B, причем SA ̸= SB. Докажите, что окружность с центром A, касающаяся SB, и окружность с центром B, касающаяся SA, касаются друг друга.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(А.Заславский) Точка C лежит на биссектрисе острого угла с вершиной S.
Точки P, Q — проекции C на стороны угла. Окружность с центром C и радиусом
PQ пересекает стороны угла в точках A и B, причем SA ̸= SB. Докажите, что
окружность с центром A, касающаяся SB, и окружность с центром B, касающаяся
SA, касаются друг друга.
11
Решение. Так как SC — биссектриса угла ASB, AC = BC и SA ̸= SB, точки S, A,
B, C лежат на одной окружности. Поэтому \CAB = \CSB = \CPQ, т.е. треуголь-
ники CPQ и CAB подобны. Следовательно, AB : PQ = PQ : PC = 2cos\CSP.
Кроме того, AP = BQ, значит SA + SB = 2SP и сумма расстояний от точек A и B
до противоположных сторон угла равна 2SP sin \ASB = 2PC cos2 \ASC = AB, что
равносильно утверждению задачи (рис. 15).
P
A
S C
Q
B
Рис. 15.
Используемые формулы
PQ пересекает стороны угла в точках A и B, причем SA ̸= SB.Так как SC — биссектриса угла ASB, AC = BC и SA ̸= SB, точки S, A,Поэтому \CAB = \CSB = \CPQ, т.е.Следовательно, AB : PQ = PQ : PC = 2cos\CSP.Кроме того, AP = BQ, значит SA + SB = 2SP и сумма расстояний от точек A и Bдо противоположных сторон угла равна 2SP sin \ASB = 2PC cos2 \ASC = AB, что
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.